bzoj 3143 [Hnoi2013]游走（贪心，高斯消元，期望方程）

 

【题目链接】

 

    http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3143

 

【题意】

 

    给定一个无向图，从1走到n，走过一条边得到的分数为边的标号，问一个边的标号方法，使得路径上得分最少。

 

【思路】

 

    设f[i]表示经过i点的期望次数。有：

        f[1]=1+sigma{ f[v] }

        f[u]=sigma{ f[v] }

    特别地，令f[n]=0，因为n点不会对任何连边做出贡献，于是记之为0。

    于是得到了n个线性方程组，可以用高斯消元法求解。

    对于一条边(u,v)的期望经过次数为：

        e=f[u]/du[u] + f[v]/du[v]

    du[u]为u点的度数。

    然后对每条边贪心地赋值，期望经过次数越大地赋值越小。

 

【代码】

 

#include<set>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define trav(u,i) for(int i=front[u];i;i=e[i].nxt)
#define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 505; 
const int M = N*N;

ll read() {
    char c=getchar();
    ll f=1,x=0;
    while(!isdigit(c)) {
        if(c=='-') f=-1; c=getchar();
    }
    while(isdigit(c))
        x=x*10+c-'0',c=getchar();
    return x*f;
}

struct Edge {
    int v,nxt;
}e[M];
int en=1,front[N];
void adde(int u,int v) 
{
    e[++en]=(Edge){v,front[u]}; front[u]=en;
}

int n,m,du[N],flag[N][N];
double ef[N],a[N][N]; int tot;

void gause()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int r=i;
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            if(fabs(a[j][i])>fabs(a[r][i])) r=i;
        if(r!=i) for(int j=1;j<=n+1;j++) swap(a[i][j],a[r][j]);
        for(int j=n+1;j>=i;j--)
            for(int k=i+1;k<=n;k++)
                a[k][j]-=a[k][i]/a[i][i]*a[i][j];
    }
    for(int i=n;i;i--)
    {
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            a[i][n+1]-=a[i][j]*a[j][n+1];
        a[i][n+1]/=a[i][i];
    }
}

int main()
{
    n=read(),m=read();
    int u,v;
    FOR(i,1,m) 
    {
        u=read(),v=read();
        adde(u,v),adde(v,u);
        du[u]++,du[v]++;
    }
    FOR(u,1,n-1) 
    {
        if(u==1) a[u][n]=1;
        a[u][u]=1;
        trav(u,i) 
        {
            int v=e[i].v;
            if(v!=n) a[u][v]-=1.0/du[v];
        }
    }
    a[1][n]=1;
    n--;
    gause();
    FOR(u,1,n) 
    {
        trav(u,i) 
        {
            int v=e[i].v;
            if(v!=u&&!flag[u][v]) 
                ef[++tot]=a[u][n+1]/du[u]+a[v][n+1]/du[v],
                flag[u][v]=flag[v][u]=1;
        }
    }
    sort(ef+1,ef+tot+1);
    double ans=0.0;
    FOR(i,1,tot)
        ans+=ef[i]*(tot-i+1);
    printf("%.3lf\n",ans);
    return 0;
}