bzoj 2818 Gcd（欧拉函数 | 莫比乌斯反演）

 

【题目链接】

 

    http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2818

 

【题意】

 

　　问(x,y)为质数的有序点对的数目。

 

【思路一】

 

　　定义f[i]表示i之前(x,y)=1的有序点对的数目，则有递推式：

        　　f[1]=1

        　　f[i]=f[i-1]+phi[i]*2

　　我们依次枚举小于n的所有素数，对于素数t，(x,y)=t的数目等于(x/t,y/t)，即f[n/t]。

 

【代码一】

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 1e7+10;

int su[N],tot,phi[N];
ll f[N];

void get_pre(int n)
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++) if(!phi[i]) {
        su[++tot]=i;
        for(int j=i;j<=n;j+=i) {
            if(!phi[j]) phi[j]=j;
            phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
        }
    }
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++) f[i]=f[i-1]+2*phi[i];
}

int n;

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    get_pre(n);
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=tot;i++)
        ans+=f[n/su[i]];
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

 

【思路二】

 

　　其它思路一样，不同的是使用莫比乌斯反演计算(x,y)=1的数目，累计答案的时间复杂度为O(n sqrt(n))

　　推倒过程：

 

【代码二】

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 1e7+10;

int su[N],mu[N],tot,vis[N];

void get_mu(int n)
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++) {
        if(!vis[i]) {
            su[++tot]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=tot&&su[j]*i<=n;j++) {
            vis[i*su[j]]=1;
            if(i%su[j]==0) mu[i*su[j]]=0;
            else mu[i*su[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) mu[i]+=mu[i-1];
}

int n;

ll calc(int n)
{
    int i,last; ll ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i=last+1) {
        last=n/(n/i);
        ans+=(ll)(n/i)*(n/i)*(mu[last]-mu[i-1]);
    }
    return ans;
}

int main()
{
//    freopen("in.in","r",stdin);
//    freopen("out.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    get_mu(n);
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=tot;i++)
        ans+=calc(n/su[i]);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

 

UPD.16/4/8

　　另外莫比乌斯反演还有一种O(n)预处理O(sqrt(n))查询的做法 click Here