bzoj 1576 [Usaco2009 Jan]安全路经Travel（树链剖分，线段树）

 

【题意】

 

    给定一个无向图，找到1-i所有的次短路经，要求与最短路径的最后一条边不重叠。

 

【思路】

 

    首先用dijkstra算法构造以1为根的最短路树。

    将一条无向边看作两条有向边，考察一条不在最短路树上的边(u,v)，如果我们连接(u,v) ，设t=lct(u,v)，则为v->t（不含t）路径上的点提供了另外一条1-x的路径且最后一条边不与最短路重合，这条路径长度为dis[u]+dis[v]+e.w-dis[x]，对于每个点维护最小的mn=dis[u]+dis[v]+e.w，因为每次需要对一条路径进行修改，所以可以用树链剖分+线段树维护最小值和一个懒标记完成。

    好题。。。

   

【代码】

 

#include<set>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define trav(u,i) for(int i=front[u];i;i=e[i].nxt)
#define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 2e5+10;
const int M = 4e5+10;
const int inf = 1e9;

ll read() {
    char c=getchar();
    ll f=1,x=0;
    while(!isdigit(c)) {
        if(c=='-') f=-1; c=getchar();
    }
    while(isdigit(c))
        x=x*10+c-'0',c=getchar();
    return x*f;
}

struct Edge {
    int u,v,w,nxt;
}e[M];
int en=1,front[N];
void adde(int u,int v,int w) {
    e[++en]=(Edge){u,v,w,front[u]}; front[u]=en;
}

struct Node {
    int id,dis;
    bool operator < (const Node& rhs) const {
        return dis>rhs.dis;
    }
};

struct Tnode {
    int u,l,r,mn,tag;
    void minv(int x);
    void pushdown();
    void maintain();
}T[N<<1];
void Tnode::minv(int x) {
    tag=x;
    mn=min(mn,x);
}
void Tnode:: pushdown() {
    if(tag!=-1 && l!=r) {
        T[u<<1].minv(tag);
        T[u<<1|1].minv(tag);
        tag=-1;
    }
}
void Tnode:: maintain() {
    if(l==r) return ;
    mn=min(T[u<<1].mn,T[u<<1|1].mn);
}

priority_queue<Node> q;
int n,m;
int SZ,vis[N],dis[N],dep[N],siz[N],son[N],fa[N],top[N],mark[N],p[N],pl[N];

void dijkstra()
{
    FOR(i,0,n) dis[i]=inf;
    dis[1]=0;
    q.push((Node){1,0});
    while(!q.empty()) {
        int u=q.top().id; q.pop();
        if(vis[u]) continue;
        vis[u]=1;
        trav(u,i) {
            int v=e[i].v;
            if(dis[v]>dis[u]+e[i].w) {
                dis[v]=dis[u]+e[i].w;
                mark[p[v]]=0; mark[i]=1;
                p[v]=i;
                q.push((Node){v,dis[v]});
            }
        }
    }
}
void dfs1(int u)
{
    siz[u]=1; son[u]=0;
    trav(u,i) if(mark[i]) {
        int v=e[i].v;
        if(v!=fa[u]) {
            fa[v]=u;
            dep[v]=dep[u]+1;
            dfs1(v);
            siz[u]+=siz[v];
            if(siz[v]>siz[son[u]]) son[u]=v;
        }
    }
}
void dfs2(int u,int tp)
{
    top[u]=tp; pl[u]=++SZ;
    if(son[u]) dfs2(son[u],tp);
    trav(u,i) if(mark[i]&&e[i].v!=fa[u])
        dfs2(e[i].v,e[i].v);
}
int lca(int u,int v) {
    while(top[u]!=top[v]) {
        if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);
        u=fa[top[u]];
    }
    return dep[u]<dep[v]? u:v;
}
void build(int u,int l,int r)
{
    T[u]=(Tnode) {u,l,r,inf,-1};
    if(l==r) return ;
    int mid=l+r>>1;
    build(u<<1,l,mid),
    build(u<<1|1,mid+1,r);
}
void update(int u,int L,int R,int x)
{
    T[u].pushdown();
    if(L<=T[u].l&&T[u].r<=R) T[u].minv(x);
    else {
        int mid=T[u].l+T[u].r>>1;
        if(L<=mid) update(u<<1,L,R,x);
        if(mid<R)  update(u<<1|1,L,R,x);
        T[u].maintain();
    }
}
int query(int u,int x)
{
    T[u].pushdown();
    if(T[u].l==T[u].r) return T[u].mn;
    else {
        int mid=T[u].l+T[u].r>>1;
        if(x<=mid) return query(u<<1,x);
        else return query(u<<1|1,x);
    }
}

void modify(int u,int v,int x)
{
    while(top[u]!=top[v]) {
        if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);
        update(1,pl[top[u]],pl[u],x);
        u=fa[top[u]];
    }
    if(dep[u]>dep[v]) swap(u,v);
    update(1,pl[u],pl[v],x);
}

int main()
{
    n=read(),m=read();
    int u,v,w;
    FOR(i,1,m) {
        u=read(),v=read(),w=read();
        adde(u,v,w),adde(v,u,w);
    }
    dijkstra();
    dfs1(1),dfs2(1,1);
    build(1,1,SZ);
    for(int i=2;i<=en;i+=2) {
        u=e[i].u,v=e[i].v,w=e[i].w;
        int LCA=lca(u,v);
        if(!mark[i]) modify(v,LCA,dis[u]+dis[v]+e[i].w);
        if(!mark[i^1]) modify(u,LCA,dis[u]+dis[v]+e[i].w);
    }
    FOR(i,2,n) {
        w=query(1,pl[i]);
        if(w==inf) puts("-1");
        else printf("%d\n",w-dis[i]);
    }
    return 0;
}