bzoj 2095: [Poi2010]Bridges（二分法+混合图的欧拉回路）

 

【题意】

 

    给定n点m边的无向图，对于边u,v，从u到v边权为c，从v到u的边权为d，问能够经过每条边一次且仅一次，且最大权值最小的欧拉回路。

 

【思路】

 

    二分答案mid，然后切断权值大于mid的边，原图就变成了一个既有无向边又有有向边的混合图，则问题转化为求混合图上是否存在一个欧拉回路。

       无向图存在欧拉回路，当且仅当图的所有顶点度数都为偶数且图连通。

     有向图存在欧拉回路，当且仅当图的所有顶点入度等于初度且图连通。

    一条边仅经过一次，所以无向边最终的归属就是有向边，即我们要给无向边定向使存在欧拉回路。 

先将无向边随便确定一个方向然后计算出入度in和出度out，当x=abs(in-out)为奇数时不存在欧拉回路，因为不论如何定向都不满足入度与出度相等。

构图：对于随便定向的无向边(u，v)，添加一条(v,u,1)的边代表可以反悔一次添加一条v->u的边，如果入度>出度，由源点S连边(S,i,x/2)，如果初度>入度，则连边(i,T,x/2)，分别表示应该反悔x/2次增加出度/入度边。

　 跑一次最大流，当网络满载时mid可行。

 

【代码】

 

#include<set>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define trav(u,i) for(int i=front[u];i;i=e[i].nxt)
#define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 2e3+10;
const int inf = 1e9;

ll read() {
    char c=getchar();
    ll f=1,x=0;
    while(!isdigit(c)) {
        if(c=='-') f=-1; c=getchar();
    }
    while(isdigit(c))
        x=x*10+c-'0',c=getchar();
    return x*f;
}

struct Edge {
    int u,v,cap,flow;
};
struct Dinic {
    int n,m,s,t;
    int d[N],cur[N],vis[N];
    vector<int> g[N];
    vector<Edge> es;
    queue<int> q;
    void init(int n) {
        this->n=n;
        es.clear();
        FOR(i,0,n) g[i].clear();
    }
    void AddEdge(int u,int v,int w) {
        es.push_back((Edge){u,v,w,0});
        es.push_back((Edge){v,u,0,0});
        m=es.size();
        g[u].push_back(m-2);
        g[v].push_back(m-1);
    }
    int bfs() {
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        q.push(s); d[s]=0; vis[s]=1;
        while(!q.empty()) {
            int u=q.front(); q.pop();
            FOR(i,0,(int)g[u].size()-1) {
                Edge& e=es[g[u][i]];
                int v=e.v;
                if(!vis[v]&&e.cap>e.flow) {
                    vis[v]=1;
                    d[v]=d[u]+1;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
        return vis[t];
    }
    int dfs(int u,int a) {
        if(u==t||!a) return a;
        int flow=0,f;
        for(int& i=cur[u];i<g[u].size();i++) {
            Edge& e=es[g[u][i]];
            int v=e.v;
            if(d[v]==d[u]+1&&(f=dfs(v,min(a,e.cap-e.flow)))>0) {
                e.flow+=f; 
                es[g[u][i]^1].flow-=f;
                flow+=f; a-=f;
                if(!a) break;
            }
        }
        return flow;
    }
    int MaxFlow(int s,int t) {
        this->s=s,this->t=t;
        int flow=0;
        while(bfs()) {
            memset(cur,0,sizeof(cur));
            flow+=dfs(s,inf);
        }
        return flow;
    }
} dc;

int n,m,S,T,u[N],v[N],c[N],d[N],in[N],out[N];

int can(int M)
{
    memset(in,0,sizeof(in));
    memset(out,0,sizeof(out));
    dc.init(n+2);
    int sum=0,x;
    FOR(i,1,m) {
        if(c[i]<=M) out[u[i]]++,in[v[i]]++;
        if(d[i]<=M) dc.AddEdge(v[i],u[i],1);
    }
    FOR(i,1,n) if(abs(in[i]-out[i])&1) return 0;
    FOR(i,1,n) {
        x=in[i]-out[i];
        sum+=x>0?x>>1:0;
        if(x>0) dc.AddEdge(S,i,x>>1);
        if(x<0) dc.AddEdge(i,T,(-x)>>1);
    }
    return dc.MaxFlow(S,T)==sum;
}
int main()
{
    n=read(),m=read();
    S=0,T=n+1;
    int L=inf,R=0;
    FOR(i,1,m) {
        u[i]=read(),v[i]=read(),c[i]=read(),d[i]=read();
        if(c[i]>d[i]) swap(c[i],d[i]),swap(u[i],v[i]);
        L=min(L,c[i]),R=max(R,d[i]);
    }
    while(L<R) {
        int M=L+(R-L)/2;
        if(can(M)) R=M; else L=M+1;
    }
    if(!can(L)) puts("NIE"); else printf("%d",L);
    return 0;
}