bzoj 3675 [Apio2014]序列分割（斜率DP）

 

【题目链接】

 

    http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3675

 

【题意】

 

    将n个数的序列分割k次，每次的利益为分割后两部分数值和的积，求最大利益。

 

【思路】

 

    设f[i][j]表示将前i个分割j次的最大获益，则有转移式：

        f[i][j]=max{ f[k][j-1]+(S(i)-S(k))*S(k) }

    设a<b，若b决策优于a决策则有：

        (S[b]^2-S[a]^2+f[a][j-1]-f[b][j-1])/(S[b]-S[a])<S[i]

    单调队列维护下凸包，每次保持队首的最优性，维护队尾的下凸性。队列中的点至少要有一个。

 

【代码】

 

#include<set>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define trav(u,i) for(int i=front[u];i;i=e[i].nxt)
#define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 2e5+10;

ll read() {
    char c=getchar();
    ll f=1,x=0;
    while(!isdigit(c)) {
        if(c=='-') f=-1; c=getchar();
    }
    while(isdigit(c))
        x=x*10+c-'0',c=getchar();
    return x*f;
}

int n,K,tot;
ll f[N][2],cur,q[N],qh,qt,a[N],S[N];
/*
double slop(ll a,ll b) {
    return (double)(S[b]*S[b]-S[a]*S[a]+f[a][cur^1]-f[b][cur^1])/(double)(S[b]-S[a]);
}
*/
ll up(ll a,ll b) 
{
    return (S[b]*S[b]-S[a]*S[a]+f[a][cur^1]-f[b][cur^1]);
}
ll down(ll a,ll b) 
{
    return (S[b]-S[a]);
}

int main()
{
    n=read(),K=read();
    FOR(i,1,n) {
        a[++tot]=read();
        if(!a[tot]) --tot;
    }
    n=tot;
    FOR(i,1,n) S[i]=S[i-1]+a[i];
    FOR(round,1,K) {
        cur^=1;
        qh=1; qt=0;
        FOR(i,round,n) {
            while(qh<qt&up(q[qh],q[qh+1])<S[i]*down(q[qh],q[qh+1])) qh++;
            int t=q[qh];
            f[i][cur]=f[t][cur^1]+(S[i]-S[t])*S[t];
            while(qh<qt&&up(q[qt-1],q[qt])*down(q[qt-1],i)>up(q[qt-1],i)*down(q[qt-1],q[qt])) qt--;
            q[++qt]=i;
        }
    }
    printf("%lld\n",f[n][cur]);
    return 0;
}