bzoj 3122 [Sdoi2013]随机数生成器（逆元，BSGS）

 

Description

Input

输入含有多组数据，第一行一个正整数T，表示这个测试点内的数据组数。 
 
接下来T行，每行有五个整数p，a，b，X1，t，表示一组数据。保证X1和t都是合法的页码。

注意：P一定为质数

Output

共T行，每行一个整数表示他最早读到第t页是哪一天。如果他永远不会读到第t页，输出-1。

Sample Input

3
7 1 1 3 3
7 2 2 2 0
7 2 2 2 1

Sample Output

1
3
-1

HINT

 

0<=a<=P-1,0<=b<=P-1,2<=P<=10^9

 

【思路】

 

       逆元，BSGS算法

       首先特判：a=0，a=1，当a=1时，序列为:

              x1,x1+b,x1+2*b …

       即(x1+(n-1)*b) mod p=t，用个乘法逆元可以求出，当逆元为0的时候无解输出-1。

       当a>=2时

       可以得到通项公式：

              xn=[ a^n-1 *(x1+b/(a-1))-b/(a-1) ] mod p

       若满足xn=t，则有

              a^n-1 = (b* (a-1)^-1 +t) * (b*(a-1)^-1+x1)^-1 mod p

       于是可以用BSGS算法求n-1。

 

       需要注意的是各种取模p一定要有。

 

【代码】

#include<map>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 1e4+5;

LL pow(LL x,LL p,LL MOD) {
    LL ans=1;
    while(p) {
        if(p&1) ans=(ans*x)%MOD;
        x=(x*x)%MOD;
        p>>=1;
    }
    return ans;
}
map<LL,int> mp;
LL BSGS(LL a,LL b,LL MOD) {
    a%=MOD;
    int m=sqrt(MOD)+1; mp.clear();
    LL am=pow(pow(a,m,MOD),MOD-2,MOD);
    LL x=1; mp[1]=0;
    for(int i=1;i<m;i++) {
        x=(x*a)%MOD;
        if(!mp.count(x)) mp[x]=i;
    }
    for(int i=0;i<m;i++) {
        if(mp.count(b)) return i*m+mp[b];
        b=(b*am)%MOD;
    }
    return -2;
}

LL p,a,b,x1,t;

int main() {
    //freopen("in.in","r",stdin);
    //freopen("out.out","w",stdout);
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--) {
        cin>>p>>a>>b>>x1>>t;
        LL c=pow(a-1,p-2,p),d,x,y,con,inv;
        if(x1==t) puts("1"); else
        if(!a) {
            if(t==b) puts("2");
            else puts("-1");
        } else
        if(a==1) {
            inv=pow(b,p-2,p);
            if(!inv) puts("-1");
            else printf("%lld\n",((inv*(t-x1+p)%p)+p)%p+1);
        } else {
            con=((((b*c+t)%p)*(pow((x1+b*c)%p,p-2,p)))%p+p)%p;
            printf("%lld\n",BSGS(a,con,p)+1);
        }
    }
    return 0;
}