bzoj 2281 [Sdoi2011]黑白棋（博弈+组合计数）

 

 

黑白棋（game）

【问题描述】

小A和小B又想到了一个新的游戏。

这个游戏是在一个1*n的棋盘上进行的，棋盘上有k个棋子，一半是黑色，一半是白色。

最左边是白色棋子，最右边是黑色棋子，相邻的棋子颜色不同。

 

小A可以移动白色棋子，小B可以移动黑色的棋子，他们每次操作可以移动1到d个棋子。

每当移动某一个棋子时，这个棋子不能跨越两边的棋子，当然也不可以出界。当谁不可以操作时，谁就失败了。

小A和小B轮流操作，现在小A先移动，有多少种初始棋子的布局会使他胜利呢？

【输入格式】

共一行，三个数，n,k,d。

【输出格式】

输出小A胜利的方案总数。答案对1000000007取模。

【样例输入】

10 4 2

【样例输出】

182

【数据规模和约定】

对于30%的数据，有 k=2。

对于100%的数据，有1<=d<=k<=n<=10000, k为偶数，k<=100。

 

【思路】

 

       博弈+组合计数

       将相邻黑白点看作是一堆石子，则问题转化为Nimk游戏，即有n堆石子每次可以在1~d堆中拿出任意不为0个数的石子，什么时候局面必胜。

       结论：当且仅当nim和中1的个数为d+1的倍数，有局面必败。每次最多只能使d个为0，先手不能转移到必败态 ，则后手可以通过操作获胜。

       补集转化，求先手必败的局面数。

       设f[i][j]表示nim和前i位中有j个的先手必败的方案数，枚举 d+1 的倍数转移：

              f[i][j+k*(d+1)*(1<<i)]+=f[i][j]*C(K/2,k*(d+1))

       则最后答案为C(n,K)-sigma{ f[15][i]*C(n-i-K/2,K/2) }

 

【代码】

 

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 2*1e4+10;
const int M = 2*1e2+10;
const int MOD = 1e9+7;

LL c[N][M],f[M][N];

void get_c() {
    for(int i=0;i<N;i++) c[i][0]=1;
    for(int i=1;i<N;i++) {
        for(int j=1;j<=min(i,M-1);j++)
            c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%MOD;
    }
}
LL C(int n,int k) {
    if(k>n-k) k=n-k; return c[n][k];
}

int n,K,D;

int main() {
    get_c();
    scanf("%d%d%d",&n,&K,&D);
    K>>=1;
    f[0][0]=1;
    for(int i=0;i<15;i++)
        for(int j=0;j<=n-2*K;j++)
            for(int k=0;k*(D+1)<=K && j+k*(D+1)*(1<<i)<=n-2*K;k++)
                f[i+1][j+k*(D+1)*(1<<i)]=(f[i+1][j+k*(D+1)*(1<<i)]+f[i][j]*C(K,k*(D+1))%MOD)%MOD;
    LL ans=0;
    for(int i=0;i<=n-2*K;i++) 
        ans=(ans+f[15][i]*C(n-i-K,K)%MOD)%MOD;
    printf("%lld",(C(n,2*K)-ans+MOD)%MOD);
    return 0;
}