vijos1891 学姐的逛街计划（线性规划）
-
描述
doc 最近太忙了, 每天都有课. 这不怕, doc 可以请假不去上课.
偏偏学校又有规定, 任意连续 n 天中, 不得请假超过 k 天.
doc 很忧伤, 因为他还要陪学姐去逛街呢.
后来, doc发现, 如果自己哪一天智商更高一些, 陪学姐逛街会得到更多的好感度.
现在 doc 决定做一个实验来验证自己的猜想, 他拜托 小岛 预测出了 自己 未来 3n 天中, 每一天的智商.
doc 希望在之后的 3n 天中选出一些日子来陪学姐逛街, 要求在不违反校规的情况下, 陪学姐逛街的日子自己智商的总和最大.
可是, 究竟这个和最大能是多少呢?
格式
输入格式
第一行给出两个整数, n 和 k, 表示我们需要设计之后 3n 天的逛街计划, 且任意连续 n 天中不能请假超过 k 天.
第二行给出 3n 个整数, 依次表示 doc 每一天的智商有多少. 所有数据均为64位无符号整数
输出格式
输出只有一个整数, 表示可以取到的最大智商和.
限制
对于 20% 的数据, 1 <= n <= 12 , k = 3.
对于 70% 的数据, 1 <= n <= 40 .
对于 100% 的数据, 1 <= n <= 200 , 1 <= k <= 10.
【思路】
一道线性规划的题目，好神奇=-=。
这是题解中的思路：
from qiuzanlin
设第i天是否去逛街为a[i]，c[i]表示第i天的智商，a[i]=1表示去逛街，a[i]=0表示不去
则可得2n个不等式
a[1]+a[2]+...+a[n]<=k
a[2]+a[3]+...+a[n+1]<=k
...
a[2n+1]+....+a[3n]<=k
求c[1]a[1]+c[2]a[2]+...+c[3n]*a[3n]的最大值
添加一个辅助变量
a[1]+a[2]+...+a[n]+y[1]=k
a[2]+a[3]+...+a[n+1]+y[2]=k
...
a[2n+1]+....+a[3n]+y[2n+1]=k
0<=y[i]<=k
将上述不等式相邻两个相减
y[1]+a[1]=a[n+1]+y[2]。。。。。。。。。1
y[2]+a[2]=a[n+2]+y[3]。。。。。。。。。2
......
y[n+1]+a[n+1]=a[2n+1]+y[n+2]。。。。。。。n+1
......
y[2n]+a[2n]=a[3n]+y[2n+1]。。。。。。。。2n
根据网络中每个节点流入量等于流出量的性质
将上述等式编号并抽象成网络中的点，变量a[i]和y[i]抽象为网络中的有向边（弧）
问题等价于求最大费用最大流
以a[n+1]为例 可以看成是节点1部分流出量和节点n+1的部分流入量于是可以建边从n+1到1
故根据这些等式可以建图
设源点为0，汇点为2n+3
i到n+i连一条弧，流量上限为1，费用为c[n+i] 1<=i<=n
i到i+1连一条弧，流量上限为k，费用为0（即为辅助变量y）1<=i<=2n-1
这时发现题目的k还没用上，
于是发现上述等式成立必需满足这两个等式
a[1]+a[2]+...+a[n]+y[1]=k。。。。。2n+1
a[2n+1]+....+a[3n]+y[2n+1]=k。。。。。2n+2
于是建一个节点2n+1
为了满足2n+1式
则由源点向节点2n+1连一条流量上限为k的边，费用为0。
由节点2n+1向i连一条流量上限为1的边，费用为ci
同理建一个节点2n+2
为了满足2n+2式则由节点2n+2向汇点连一条流量上限为k的边，费用为0。
由节点i向2n+2连一条流量上限为1的边，费用为ci
建图完毕，剩下就是套算法。
【代码】
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<queue> 4 #include<vector> 5 #define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++) 6 using namespace std; 7 8 typedef long long LL ; 9 const int maxn = 1000+10; 10 const int INF = 1e9; 11 12 struct Edge{ int u,v,cap,flow,cost; 13 }; 14 15 struct MCMF { 16 int n,m,s,t; 17 int inq[maxn],a[maxn],d[maxn],p[maxn]; 18 vector<int> G[maxn]; 19 vector<Edge> es; 20 21 void init(int n) { 22 this->n=n; 23 es.clear(); 24 for(int i=0;i<n;i++) G[i].clear(); 25 } 26 void AddEdge(int u,int v,int cap,int cost) { 27 es.push_back((Edge){u,v,cap,0,cost}); 28 es.push_back((Edge){v,u,0,0,-cost}); 29 m=es.size(); 30 G[u].push_back(m-2); 31 G[v].push_back(m-1); 32 } 33 34 bool SPFA(int s,int t,int& flow,LL& cost) { 35 for(int i=0;i<n;i++) d[i]=INF; 36 memset(inq,0,sizeof(inq)); 37 d[s]=0; inq[s]=1; p[s]=0; a[s]=INF; 38 queue<int> q; q.push(s); 39 while(!q.empty()) { 40 int u=q.front(); q.pop(); inq[u]=0; 41 for(int i=0;i<G[u].size();i++) { 42 Edge& e=es[G[u][i]]; 43 int v=e.v; 44 if(e.cap>e.flow && d[v]>d[u]+e.cost) { 45 d[v]=d[u]+e.cost; 46 p[v]=G[u][i]; 47 a[v]=min(a[u],e.cap-e.flow); //min(a[u],..) 48 if(!inq[v]) { inq[v]=1; q.push(v); 49 } 50 } 51 } 52 } 53 if(d[t]==INF) return false; 54 flow+=a[t] , cost+=a[t]*d[t]; 55 for(int x=t; x!=s; x=es[p[x]].u) { 56 es[p[x]].flow+=a[t]; es[p[x]^1].flow-=a[t]; 57 } 58 return true; 59 } 60 int Mincost(int s,int t,LL& cost) { 61 int flow=0; cost=0; 62 while(SPFA(s,t,flow,cost)) ; 63 return flow; 64 } 65 } mc; 66 67 int n,m,k; 68 int a[maxn]; 69 70 int main() { 71 scanf("%d%d",&n,&k); 72 FOR(i,1,3*n) scanf("%d",&a[i]); 73 mc.init(2*n+4); 74 int s=0,t=2*n+3; 75 76 FOR(i,2,n+1) mc.AddEdge(s,i,1,-a[i-1]); 77 FOR(i,n+2,2*n+1) mc.AddEdge(i-n,i,1,-a[i-1]); 78 FOR(i,n+2,2*n+1) mc.AddEdge(i,2*n+2,1,-a[i-1+n]); 79 FOR(i,2,2*n+2) mc.AddEdge(i-1,i,k,0); 80 mc.AddEdge(s,1,k,0); 81 mc.AddEdge(2*n+2,t,k,0); 82 83 LL cost; 84 mc.Mincost(s,t,cost); 85 printf("%lld",-cost); 86 return 0; 87 }
posted on 2016-01-02 19:17 hahalidaxin 阅读(433) 评论(0) 编辑 收藏 举报
