关于最大连续子列和的问题

问题：

给定K个整数组成的序列{ N​1​​, N​2​​, ..., N​K​​ }，“连续子列”被定义为{ N​i​​, N​i+1​​, ..., N​j​​ }，其中 1≤i≤j≤K。“最大子列和”则被定义为所有连续子列元素的和中最大者。例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其连续子列{ 11, -4, 13 }有最大的和20。现要求你编写程序，计算给定整数序列的最大子列和。

本题旨在测试各种不同的算法在各种数据情况下的表现。各组测试数据特点如下：
    数据1：与样例等价，测试基本正确性；
    数据2：102个随机整数；
    数据3：103个随机整数；
    数据4：104个随机整数；
    数据5：105个随机整数；

 

解法一：求出所有子列的和并取最大值，时间复杂度为O(N³)

 

# 求最大连续子列和问题
# 傻瓜式做法

n = input()
l = input().split()

def maxsubseqsum(l):
    maxsum = 0
    for i in range(0, len(l)):              #左端点
        for j in range(i, len(l)):          #右端点
            currentsum = 0
            for k in range(i, j+1):
                currentsum += int(l[k])
            if currentsum > maxsum:
                maxsum = currentsum

    return maxsum

print(maxsubseqsum(l))

解法二：最内层循环可以不要，在前一次当前和的基础上加上l[k]，时间复杂度为O(N²)

# 求最大连续子列和问题
# 傻瓜式做法改进版

n = input()
l = input().split()

def maxsubseqsum(l):
    maxsum = 0
    for i in range(0, len(l)):              #左端点
        currentsum = 0
        for j in range(i, len(l)):          #右端点
            currentsum += int(l[j])
            if currentsum > maxsum:
                maxsum = currentsum

    return maxsum

print(maxsubseqsum(l))

解法三：分治法，时间复杂度为O(logN)

 

#include<stdio.h>

int Max3( int A, int B, int C );
int DivideAndConquer( int List[], int left, int right );
int MaxSubseqSum3( int List[], int N );

int main(){
    int a[] = {1, -1, 3, 5, -6, 8};
    int maxValue = MaxSubseqSum3(a, 6);
    printf("%d\n",maxValue);
    return 0;
}

int Max3( int A, int B, int C )
{ /* 返回3个整数中的最大值 */
    return A > B ? A > C ? A : C : B > C ? B : C;
}

int DivideAndConquer( int List[], int left, int right )
{ /* 分治法求List[left]到List[right]的最大子列和 */
    int MaxLeftSum, MaxRightSum; /* 存放左右子问题的解 */
    int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum; /*存放跨分界线的结果*/

    int LeftBorderSum, RightBorderSum;
    int center, i;

    if( left == right )  { /* 递归的终止条件，子列只有1个数字 */
        if( List[left] > 0 )  return List[left];
        else return 0;
    }

    /* 下面是"分"的过程 */
    center = ( left + right ) / 2; /* 找到中分点 */
    /* 递归求得两边子列的最大和 */
    MaxLeftSum = DivideAndConquer( List, left, center );
    MaxRightSum = DivideAndConquer( List, center+1, right );

    /* 下面求跨分界线的最大子列和 */
    MaxLeftBorderSum = 0; LeftBorderSum = 0;
    for( i=center; i>=left; i-- ) { /* 从中线向左扫描 */
        LeftBorderSum += List[i];
        if( LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum )
            MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;
    } /* 左边扫描结束 */

    MaxRightBorderSum = 0; RightBorderSum = 0;
    for( i=center+1; i<=right; i++ ) { /* 从中线向右扫描 */
        RightBorderSum += List[i];
        if( RightBorderSum > MaxRightBorderSum )
            MaxRightBorderSum = RightBorderSum;
    } /* 右边扫描结束 */

    /* 下面返回"治"的结果 */
    return Max3( MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum );
}

int MaxSubseqSum3( int List[], int N )
{ /* 保持与前2种算法相同的函数接口 */
    return DivideAndConquer( List, 0, N-1 );
}

 

解法四：在线处理，时间复杂度为O(N)

# 求最大连续子列和问题
# 在线处理

n = input()
l = input().split()

def maxsubseqsum(l):
    maxsum = currentsum = 0
    for i in range(0, len(l)):
        currentsum += int(l[i])
        if currentsum > maxsum:
            maxsum = currentsum
        elif currentsum < 0:
            currentsum = 0
    return maxsum

print(maxsubseqsum(l))