LeetCode 笔记系列一 Median of Two Sorted Arrays

　　题目：There are two sorted arrays A and B of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

　　刚开始的时候理解有误，以为是求中位数。其实不是。这里所谓的"median of the two sorted arrays"指的是：如果A.length + B.length 是奇数，返回merge后中间的那个数；如果是偶数，返回中间两个数的平均数。

例如：[1,2]和[3]，返回2；而[1,2]和[3,4]，返回2.5

　　解法：不难有O(m+n)的做法，即merge A 和 B，得到一个长的sorted数组，返回中间一个或中间两个的平均数。但是不符合题目要求。

　　如何做到O(log(m+n))呢？

 　  首先考虑如何找到在A和B数组merge的第k个元素。可以对k进行分治。假设A的长度为m，B的长度为n，m<n，A的offset为aoffset，B的offset为boffset,初始为0

1. 如果m为0，返回B[k-1];
2. 如果k是1，返回A[aoffset]和B[boffset]中比较小的那个;
3. 我们从A中取前(相对于其offset的)Ka个(一般是k/2),从B中取前Kb个(Ka + Kb = k);
4. 比较A[aoffset + Ka-1]和B[boffset + Kb-1]。如果A[aoffset + Ka-1] 大于B[boffset + Kb-1],说明要找的第k个元素肯定不在B中刚刚选取的Kb个元素中，否则的话，在选择到的总共K个数中，最大的数应该在B中(但是实际在A中);反之，第k个元素肯定也不会在A中选取的Ka个元素中。也可以这样想，通过比较A[aoffset + Ka-1]和B[boffset + Kb-1]，我们知道在第3步中对K值的划分是否足够“偏向”目标元素，从而排除掉一部分元素;
5. 如果A[aoffset + Ka-1] 大于B[boffset + Kb-1],移动boffset到boffset+kb，同时k减去Kb。回到1.（相当于继续在A和新的B中寻找第k-Kb个元素）
6. 如果A[aoffset + Ka-1] 小于等于B[boffset + Kb-1],移动aoffset到aoffset+ka，同时k减去Ka。回到1.

　　代码如下：　

private static int findKth(int A[], int aoffset, int m, int B[],int boffset, int n,int k){
        if(m > n) return findKth(B, boffset, n, A, aoffset, m, k);
        if(m==0)return B[k-1];
        if(k==1)return Math.min(A[aoffset], B[boffset]);
        int pa = Math.min(k/2, m);
        int pb = k - pa;
        if(A[aoffset + pa - 1] >= B[boffset + pb - 1])
            return findKth(A,aoffset, m, B, boffset + pb, n - pb, k-pb);
        else return findKth(A, aoffset + pa, m - pa, B, boffset, n, k - pa);
    }

    注意在递归调用之前，始终保持m<n。

    有了这个方法，我们可以用它来计算两个有序数组的第K个元素，当然也包括中间的一个（或者两个的平均值）:     

public static double findMedianSortedArrays(int A[], int B[]) {
        // Start typing your Java solution below
        // DO NOT write main() function
        //return findMiddleValue(A,B);//this is o(m+n)
        int n = A.length + B.length;
        if(n%2 == 0){
            return (double)(findKth(A,0,A.length, B,0,B.length,n/2) +findKth(A,0,A.length, B,0,B.length,n/2 + 1))/(double)2;
        }else {
            return findKth(A,0,A.length, B,0,B.length,n/2 + 1);
        }
    }