数据结构——二叉树

       要研究二叉查找树（binary search tree）首先要熟悉二叉树（binary tree）的概念与性质，二叉查找树是在二叉树基础上衍生出的数据结构。

二叉树

　　二叉树是一棵树，其中每个节点都不能有多于两个（<=2）的儿子。二叉树的一个性质是平均二叉树的深度要比N小得多。分析表明，这个平均深度为O(√N)，而对于特殊的二叉树，即二叉查找树，其深度的平均值是O(logN)。但是二叉树的深度也是可以达到N-1的（所有的节点都在同一侧，最坏情况）。

二叉树的实现

　　因为二叉树中的节点最多有两个儿子，因此可以直接用指针指向它们。二叉树中的节点就是由Key（关键字）信息加上两个指向其他节点的指针（left和right）组成的结构。特别的，在插入一个节点时，必须使用malloc来创建一个节点，当删除节点时，使用free释放节点所占用的空间。具有N个节点的每一棵二叉树都将需要N+1个NULL指针。二叉树的声明如下所示：

typedef struct TreeNode *PtrToNode；

typedef struct PtrToNode Tree；

struct TreeNode

{

      ElementType Element;

Tree      Left;

Tree      Right;

}；

二叉树的应用

　　二叉树除了可以用于查找（主要是二叉查找树）之外，在编译器设计领域也有很重要的应用，典型的应用为处理表达式。二叉树可以用来表达一个算术表达式，称为表达式树，其中非叶节点保存操作符，叶节点保存操作数。（只考虑简单的情况，即表达式中都是二元操作的情况。）可以通过递归计算左右表达式树的值，最后将结果作用于根处的操作符上来获得整个表达式树的值。下面展示一个表达式的表达式树形式，表达式为：(a+b×(c-d))-e/f。其表示式树的形式为下图所示。

　　

　　可以对此表述式树进行前缀，中缀和后缀遍历，所谓的前中后是针对操作符的输出顺序来说的，前缀遍历表示先输出操作符再输出左右子树，中缀遍历表示先输出左子树再输出操作符最后输出右子树，后缀遍历表示先输出左右子树最后输出操作符。（在非表达式树的二叉树情况下，也有前中后缀遍历，此时前中后可以理解为父节点的输出顺序。）此表达式树进行前中后缀遍历的结果分别为，

　　前缀：-+a*b-cd/ef

　　中缀：a+b*c-d-e/f

　　后缀：abcd-*+ef/-

　　其中中缀表达式为算术表达式的通常表示，只是没有括号。在计算机中后缀表达式是最方便计算的表达式形式。 

　　可以从后缀表达式构造出一棵表示式树，算法主要借助于栈数据结构，主要思路如下：顺序读入后缀表达式的字符，当读入操作数时构造一个新的节点，并且将指向新节点的指针存放到栈中。当读入的字符为操作符时，利用操作符构造新的节点，并且从栈中弹出最上面的两棵树的指针，将操作符节点作为根，两棵子树作为根的子节点，先弹出的作为右儿子，后弹出的作为左儿子。形成新的树并将指向树的指针存入栈中，直到全部读取完表达式。最后栈中只保存一个指向最终形成的表达式树的指针。