[模板题]01背包问题 原创

来源： 背包九讲 , 模板题

算法标签：背包问题，DP

题目描述

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

思路

动态划分，根据当前规则具体划分选择；

状态转移方程
f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-v[i]]+w[i])

c++代码

#include<iostream>
#include<cmath>

using namespace std;

const int N=1e3+10;
int v[N],w[N],f[N][N];//v体积,w价值,f[i][j]是状态表示,只看前i个物品，总体积是j的情况下

int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];//读入体积和价值
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                f[i][j]=f[i-1][j];//不选择第i个的情况
                if(j>=v[i])/因为j-v[i]，所以需要
                    f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);//选择第i个的情况，上一个去掉体积v[i]加上价值w[i]
            }
    
    int res=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)res=max(res,f[n][i]);//在都选完之后，比较输出各个体积情况下价值最高的那个
    cout<<res;
}

优化

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N =1e3+10;
int n,m;
int v[N],w[N];

int main()
{
    int f[N]={0};
    
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1 ;i<=n;i++)    cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i = 1 ;i<=n;i++)
        for(int j = m ;j>=v[i];j--)// f[i-1][j] 保证不会出现重复计算
                f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    
    //当前需要全0
   cout<<f[m];
   
    return 0;
}