[第五届蓝桥杯省赛C++A/B组][DP]地宫取宝 原创

来源：第五届蓝桥杯省赛C++A/B组

算法标签：动态规划,DP

题目描述：

X 国王有一个地宫宝库，是 n×m 个格子的矩阵，每个格子放一件宝贝，每个宝贝贴着价值标签。

地宫的入口在左上角，出口在右下角。

小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。

走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。

当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是 k 件，则这些宝贝就可以送给小明。

请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这 k 件宝贝。

输入格式

第一行 3 个整数，n,m,k，含义见题目描述。

接下来 n 行，每行有 m 个整数 Ci 用来描述宝库矩阵每个格子的宝贝价值。

输出格式

输出一个整数，表示正好取 k 个宝贝的行动方案数。

该数字可能很大，输出它对 1000000007 取模的结果。

数据范围

1≤n,m≤50,
1≤k≤12,
0≤Ci≤12

输入样例1：

2 2 2
1 2
2 1

输出样例1：

2

输入样例2：

2 3 2
1 2 3
2 1 5

输出样例2：

14

思路

该题是摘花生和最长上升子序列的缝合。

注意

1.
2.1E9爆栈
val = (val + f[i-1][j][u][v])%MOD; 加两个数可以，可能加三个数就爆炸了

2.
因为价值C的数据是从0到12，而我们一开始不选择的时候**f[i][j][u][v]**,此时v存在不选择的情况 则我们可以填写**比0小的数字-1**;
但因为-1无法做数组下标，因为我们直接对所有价值全部加1，就变成了1到13，原有的0就可以作为不选择的下标了。

思路图

题目代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int MOD=1000000007 ,N=55;

int map[N][N];//地图的值
int dp[N][N][13][14];//DP[A][B][C][D] AB横纵坐标 C数量 D最后一个为D的价值 

int main()
{
    int n,m,k;//n m横纵数量 k K件宝物
    cin>>n>>m>>k;
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                cin>>map[i][j];
                map[i][j]++;
            }//读入地图宝物价值，为了方便初始下标判断，全加1
            
    dp[1][1][1][map[1][1]]=1;//起始点选择 方案数1
    dp[1][1][0][0]=1;//起始点不选 方案数1
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(i==1&&j==1)continue;//如果是起始点 跳过
            
            for(int u=0;u<13;u++)
                for(int v=0;v<14;v++)
                {
                    int &val = dp[i][j][u][v];//引用 简化
                    
                    val = (val+dp[i-1][j][u][v])%MOD;//左边 不选
                    val = (val+dp[i][j-1][u][v])%MOD;//上边 不选
                    
                    if(u>0&&v==map[i][j])//最终的选择到了最大的价值宝物（因为题目递增），且有选择次数，则累加不同价值的子集
                    //当前的方案数量=上一步的所有价值的方案数量之和
                    {
                        for(int c=0;c<v;c++)//
                        {
                        val = (val+dp[i-1][j][u-1][c])%MOD;//左边
                        val = (val+dp[i][j-1][u-1][c])%MOD;//上边
                        }
                    }
                }
        }
    }
    
    int res=0;
    for(int i=1;i<=13;i++)res= (res+dp[n][m][k][i])%MOD;//总方案数量等于当前数量下所有价值的数量总和
    cout<<res;
    return 0;
}