【图像处理】第二次实验：二维快速傅里叶变换与离散余弦变换

1、任务说明

　　　用程序实现一个数字图像的傅里叶变换和余弦变换。

1、算法原理

1)        二维快速傅里叶变换

　　快速傅里叶变换是计算离散傅里叶变换的一种快速算法。对于一个信号序列，可以将其分为两部分：偶数部分和奇数部分。

于是，信号序列的离散傅里叶变换可以用两个长度为原序列长度一半的序列来表示和计算。由此，输入信号序列可以被分为越来

越小的子序列进行离散傅里叶变换计算，最后合成为整体的离散傅里叶变换。

                             

　　根据以上计算，可以得到快速傅里叶变换的蝶形流程图算法。相比傅里叶变换，快速傅里叶变换减少了大量的计算；抽样点数

越多，运算量的节约就越明显。在图像信号的两个方向上进行快速傅里叶变换，则得到二维快速傅里叶变换后的图像。

　　图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，

设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期

函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，

傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。

 

2)        离散余弦变换

　　离散余弦变换是与傅里叶变换相关的一中变换，类似于离散傅里叶变换，但是只是用实数部分。离散余弦变换相当于一个长度大

概是两倍的离散傅里叶变换，这个离散傅里叶变换是对一个实偶函数进行的。离散余弦变换共有8种形式，其中DCT II是最常用的一

种形式，其公式为：

                             

3、实验

              源图像                     二维快速傅里叶变换           离散余弦变换

                                          

                           该图像反应了图像的频率分布函数。该图像反映了实信号在频域上的变换。