在频率域中直接生成滤波器

除了之前说的从空间滤波器中获得频率域滤波器，还可以从频率域中直接生成滤波器，这些滤波器被规定为距滤波器中心点的距离不同的函数。可以创建一个用于实现频率滤波器的网格数组，最主要的是需要计算任何点到频率矩形中一个指定点的距离函数，FFT（快速傅里叶）算法是假设变换的原点位于频率矩形的左上角，因此需要将原点平移到频率矩形的中心，用fftshift。网格数组如下：

%(频域滤波函数) 提供了距离计算及其所需的网格数组
function [U,V] = dftuv(M,N)
u=0:(M-1);
v=0:(N-1);
idx = find(u>M/2);
u(idx) = u(idx)-M;
idy=find(v>N/2);
v(idy)=v(idy)- N;
[V,U] = meshgrid(v,u);
end

 

一、低通（平滑）频率域滤波器

常见的频率域低通滤波器有三个，理想低通滤波器（ILPF），巴特沃斯低通滤波器（BLPF），高斯低通滤波器（GLPF）。

1）理想低通滤波器的传递函数如下：

其中，D0为正数，D(u,v)为点（u,v）到滤波器中心的距离，满足D(u,v)=D0的点的轨迹为一个圆。如果用滤波器乘以一幅图像的傅里叶变换，我们会看到一个理想滤波器会切断（乘以0）该圆之外的所有F(u,v)分量，而保留圆上和圆内的所有分量不变（乘以1）。

可以用之前的mesh将滤波器显示出来：

             

2）n阶巴特沃斯低通滤波器，在距离滤波器中心D0处具有截止频率，传递函数为：

与理想低通滤波器不同的是，巴特沃斯低通滤波器的传递函数在D0点并没有一个尖锐的不连续，对于具有平滑传递函数的滤波器，通常将截止频率轨迹定义在H(u,v)降低为其最大值的一个指定的比例的点处。用mesh同样可以将该滤波器显示出来：

                  

3）高斯低通滤波器的传递函数如下：

其中，为标准差。该滤波器可以用mesh显示出来

                   

4）低通滤波器的例子

用高斯低通滤波器对一幅500*500的图像进行滤波，效果如下：

该例子的代码如下：

%用高斯低通滤波器进行滤波
f=imread('G:\数字图像处理（冈萨雷斯）\DIP3E_CH04_Original_Images\DIP3E_Original_Images_CH04\Fig0441(a)(characters_test_pattern).tif');
subplot(221);imshow(f); title('原图')
f = im2double(f);
%[f,revertclass] = tofloat(f);
PQ = paddedsize(size(f));
[U,V] = dftuv(PQ(1),PQ(2));
D = hypot(U,V);
D0 = 0.05*PQ(2);
F = fft2(f,PQ(1),PQ(2));
H = exp(-(D.^2)/(2*(D0^2)));
g = dftfilt(f,H);
g = im2uint8(g);
%g = revertclass(g);
subplot(222);imshow(fftshift(H));  title('高斯低通滤波器图像'); %显示滤波器图像
subplot(223);imshow(log(1+abs(fftshift(F))),[]);title('滤波器的谱');
subplot(224);imshow(g);title('滤波器后的图像')

　各种滤波器的传递函数不同，但是滤波的过程是一样的，因此，可以将这几种滤波器封装成一个函数，如下：

%频率域低通滤波函数,生成几个低通滤波器的传递函数
function [H,D] = lpfilter(type,M,N,D0,n)
[U,V] = dftuv(M,N);
D = sqrt(U.^2+V.^2);
switch type
    case 'ideal'
        H=double(D<=D0);
    case 'btw'
        if nargin ==4
            n=1;
        end
        H=1./(1+(D./D0).^(2*n));
    case 'gaussian'
        H=exp(-(D.^2)./(2*(D0^2)));
    otherwise
        error('unkown filter type');
        
end
        
        

二、高通（锐化）频率域滤波器　

就像低通滤波模糊一幅图像那样，高通滤波是相反的过程，会锐化图像，其原理是衰减傅里叶变换的低频部分而保持高频部分相对不变。若给定低通滤波器的传递函数Hlp(u,v)，则相应高通滤波器的传递函数为：

与低通滤波器相对应的高通滤波器的传递函数如下：

     

基于前面的公式，可以使用前面的函数lpfilter来构建一个生成高通滤波器的函数，如下所示：

%生成高通滤波器的函数
function H = hpfilter(type,M,N,D0,n)
if nargin ==4
    n=1;
end
Hlp = lpfilter(type,M,N,D0,n);
H = 1-Hlp;
end

 

下图显示了三个高通滤波器的透视图和图像，

代码也比较简单，

%高通滤波器的透视图和图像
 
H1 = fftshift(hpfilter('ideal',500,500,50)); %理想高通滤波器
H2 = fftshift(hpfilter('btw',500,500,50));   %巴特沃斯高通滤波器
H3 = fftshift(hpfilter('gaussian',500,500,50));  %高斯高通滤波器
subplot(231);mesh(double(H1(1:10:500,1:10:500)));title('理想高通滤波器') ;         %线框图
colormap([0 0 0]);               %黑色
axis off
     
subplot(232);mesh(double(H2(1:10:500,1:10:500)));title('巴特沃斯高通滤波器') ;         %线框图
colormap([0 0 0]);               %黑色
axis off
    
subplot(233);mesh(double(H3(1:10:500,1:10:500)));title('高斯高通滤波器') ;         %线框图
colormap([0 0 0]);               %黑色
axis off

subplot(234);imshow(H1,[]); title('理想高通滤波器');        %高通滤波器对应的图像
subplot(235);imshow(H2,[]); title('巴特沃斯高通滤波器'); 
subplot(236);imshow(H3,[]); title('高斯高通滤波器'); 

 

1）高通滤波例子

高通滤波时，图像的边缘和其他灰度变化剧烈的地方得到了增强，但由于图像的平均值由F(0,0)给出，因此，高通滤波器偏离了傅里叶变换的原点，图像会失去大部分原始图像的亮度，变得比较黑。

代码如下：

%高斯高通滤波   
f=imread('G:\数字图像处理（冈萨雷斯）\DIP3E_CH04_Original_Images\DIP3E_Original_Images_CH04\Fig0441(a)(characters_test_pattern).tif');
PQ = paddedsize(size(f));   %补0填充
D0 = 0.05*PQ(1);    %截止频率
H1 = hpfilter('ideal',PQ(1),PQ(2),D0);   %理想高通滤波器
H2 = hpfilter('btw',PQ(1),PQ(2),D0);   %巴特沃斯高通滤波器
H3 = hpfilter('gaussian',PQ(1),PQ(2),D0);   %高斯高通滤波器

%H = 1+1.5*H;
g1 = dftfilt(f,H1);     %滤波
g2 = dftfilt(f,H2);     
g3 = dftfilt(f,H3);     
subplot(221);imshow(f);title('原图');
%g = g+f;
subplot(222);imshow(g1);title('理想高通滤波');
subplot(223);imshow(g2);title('巴特沃斯高通滤波');
subplot(224);imshow(g3);title('高斯高通滤波');

 

高通滤波器偏离了直流项，因此将图像的平均值降低为0 。解决的方法之一是给高通滤波器加一个偏移量，如果把偏移量与将滤波器乘以一个大于1的常数结合起来，那么这种方法就称为高频强调滤波。高频强调滤波比较麻烦的地方就是ab参数需要根据实际情况进行不断尝试才会发现比较合适的参数。其传递函数为：

a是偏移量，b是乘数。

经过高频强调滤波后的结果如下，将原来的高通滤波器都改成相应的高频强调滤波器（a=1,b=1.5）：

最明显的就是理想高通滤波器有振铃效应，但是边缘都被增强了。除了用高频强调滤波，我发现直接在高通滤波后的图像上叠加原图也可以达到不错的效果，因为高通滤波后的图像均值接近0，所以叠加了原图像可以增强亮度和细节，而且振铃效应也没有那么强烈。如下所示：

2）结合使用高频强调滤波和直方图均衡

例子源于数字图像处理例3.8，增强一幅数字的胸部X射线图像。

上述操作的代码如下：

%联合使用高频强调滤波和直方图均衡

f=imread('G:\数字图像处理（冈萨雷斯）\DIP3E_CH04_Original_Images\DIP3E_Original_Images_CH04\Fig0459(a)(orig_chest_xray).tif');
PQ = paddedsize(size(f));      %获取填充范围
D0 = 0.05*PQ(1);              %截止频率
HBW = hpfilter('btw',PQ(1),PQ(2),D0,2);       %二阶巴特沃斯高通滤波器
H = 0.5+2*HBW;               %高频强调滤波,比直接的高通滤波准确
gbw = dftfilt(f,HBW,'fltpoint');            
gbw = gscale(gbw);

ghf = dftfilt(f,H,'fltpoint');            %滤波
ghf = gscale(ghf);           %该函数考虑的负值，可以保留细节
ghe = histeq(ghf,256);       %直方图均衡化(由较窄灰度级范围内的灰度表征的图像是直方图均衡的理想选择)
subplot(221);    imshow(f);title('原图');
subplot(222);    imshow(gbw);title('高通滤波后');
subplot(223);    imshow(ghf);title('高频强调滤波后');
subplot(224);    imshow(ghe,[]);title('高频后再直方图均衡化后');
%  figure;imhist(ghf);