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分享一道收藏的好题

我收藏的这道题是一道红题，来自洛谷 P2623，题目名为「计数」。这道题的难度大概在紫到黑的样子，我当初收藏它是因为它是一道奇怪的计数题，有点格雷码的感觉。这道题给定两个整数 $a$ 和 $b$，问有多少个 $x\in [a,b]$，满足 $x\oplus (x+1)\in [a,b]$，其中 $\oplus$ 表示按位异或操作。

一开始看到这道题，我一脸懵逼。因为我稍微做过一些计数题，但是好像从没见过按位异或的题。于是我开始思考如何解决这道题。我尝试画图，分析一些规律，但是一直都没能得到正确的答案。

后来我在网上查找资料，看到了一篇题解，介绍了一种非常巧妙的做法。这个做法基于一个性质：如果两个数按位异或后得到的二进制表示中，某一位为 1，则这两个数在这一位上的二进制位一个为 0 一个为 1。这样我们可以对于每一位来统计答案。

具体地，我们可以考虑从高位到低位，类似于二分的操作，不断将区间一分为二。具体地，我们假设当前二进制位为第 $k$ 位，我们设 $L$ 为 $a$ 和 $b$ 按照当前位所对应的二进制为止的数，而 $R$ 则是 $L+1$。例如，如果当前位是第 3 位，$a$ 的二进制表示为 101110，$b$ 的二进制表示为 100011，则 $L$ 为 101000，而 $R$ 则为 101001。这样，我们就把区间一分为二。

接下来，我们考虑 $x\in [L,R-1]$ 的情况，这样对于 $x+1$，它肯定是在 $[L+1,R]$ 中。于是我们可以递归地计算 $[L,R-1]$ 和 $[L+1,R]$ 中满足条件的 $x$ 的个数，然后把两个区间的答案加起来即可。

当然，在具体的计算中，我们还需要考虑一些特殊情况，例如当 $L=0$ 时，$x$ 就不能取 0，而当 $L=R-1$ 时，我们就不需要递归地计算，直接返回答案即可。

总体而言，这道题的计数方法非常巧妙，值得好好思考和学习。