478. Generate Random Point in a Circle

1. 问题

给定一个圆的半径和圆心坐标，生成圆内点的坐标。

2. 思路

简单说

（1）在圆内随机取点不好做，但是如果画出这个圆的外接正方形，在正方形里面采样就好做了。
（2）取两个random确定正方形内的横坐标和纵坐标即可在正方形内采样。
（3）如果采样到的点不在圆内，则丢弃，继续采样，当采样的点在圆内，则返回该点。
（4）这样采样可以视作在圆内采样的一种近似，到这里就可以把问题解决了。下面是一些扩展知识。

拒绝采样（Reject Sampling）的解释

这个方法利用了拒绝采样的方法，该方法的详细阐述我在前一篇文章470. Implement Rand10() Using Rand7() （拒绝采样Reject Sampling）中提过，下面的解释以这里面拒绝采样的介绍为基础，沿用里面的符号和式子。

把圆内点的分布当作p(x)，圆内可以看作有 \(\pi r^2\)个点，每个点的概率为 $ 1 / (\pi r^2) $。
然后把正方形内点的分布当作q(x)，正方形内可以看作有 \(4r^2\)个点，每个点的概率为 $1 / (4r^2) $。
这里我们M取\(4/\pi\)。
我们在\(q(x)\)上采点，每个点采到的概率为$1 / (4r^2) $，乘上M就是 \(1 / (\pi r^2)\)，对于每个随机变量，\(M * q(x)\)为\(1 / (\pi r^2)\)。\(p(x)\)是圆内点的分布，当采到的点在圆内时，\(p(x) = 1 / (\pi r^2)\)，那么接受概率为\(p(x) / (M * q(x))\)就是1。当采到的点在圆外时，\(p(x)\)为0，所以接受概率为0。

时间复杂度：平均为O(1)，最坏情况O(无穷)。
空间复杂度：O(1)。
random调用次数的期望值：2.55

这个期望值的计算参见470. Implement Rand10() Using Rand7() （拒绝采样Reject Sampling），使用错位相减，等比数列的求和以及极限，最后求出是\(2 * \frac{4}{\pi} = 2.55\)。

（方法二）直接在圆上取点
（1）一个半径为R的圆，可以看成无数个半径为r（r<R）的圆组成，我们只需要随机取一个半径，然后随机取一个角度，利用半径和角度即可随机取到我们要的点。
（2）对于角度，随机从\([0, 2\pi]\)取就可以了。点的横坐标和纵坐标需要根据这个角度的sin和cos来得到。
（3）对于半径而言，很容易误以为从\([0,1]\)取个数然后乘以R就可以了，但是我们知道，从半径为r的圆内取点，和从半径为\(R\)的圆内取点，比例是\((r/R)^2\)而不是\(r/R\)。比如说我们在半径为\(R\)的圆内取到半径为\((1/2)R\)的圆内点的概率应该\(1/4\)而不是\(1/2\)。所以应该\([0,1]\)取个数，开个根号之后再乘以R，这样保证了在圆内的等比例采样。

时间复杂度：O(1)
空间复杂度：O(1)

3. 代码

拒绝采样

class Solution(object):
    def __init__(self, radius, x_center, y_center):
        """
        :type radius: float
        :type x_center: float
        :type y_center: float
        """
        self.radius = radius
        self.x_center = x_center
        self.y_center = y_center

    def randPoint(self):
        """
        :rtype: List[float]
        """
        while True:
            x = (self.x_center - self.radius) + random.random() * self.radius * 2
            y = (self.y_center - self.radius) + random.random() * self.radius * 2
            if (x - self.x_center) ** 2 + (y - self.y_center) ** 2 <= self.radius ** 2:
                return [x, y]

直接在圆上取点

import random
import math
class Solution(object):
    def __init__(self, radius, x_center, y_center):
        self.radius = radius
        self.x_center = x_center
        self.y_center = y_center

    def randPoint(self):
        r = math.sqrt(random.random()) * self.radius
        theta = random.uniform(0, 2*math.pi)
        x = self.x_center + r*math.cos(theta)
        y = self.y_center + r*math.sin(theta)
        return [x, y]

4. 类似题目

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