Bird Meertens Formalism--homomorphism -part 2

Bird Meertens Formalism--homomorphism 

上一篇有点长，我分开来写

↑#：定义为返回长度较长的序列。长度相同时返回字典序小的。

长度对++有分配率

x ++ (y ↑# z) = (x ++ y) ↑# (x ++ z)
(x ↑# y) ++ z = (x ++ z) ↑# (y ++ z)
　　
(x ++ )· ↑# / = ↑# / · (x ++ )∗

(++ x)· ↑# / = ↑# / · (++ x) ∗

练习：证明 ↑# / · (all p)◁ is a homomorphism

↑# / · (all p)◁

 

= ↑# / ·++/ (X++/ (p -> [[id]o]o,[]o)*)*

= ↑# / (↑# / · X++/ (p -> [[id]o]o,[]o)*)*

= ↑# / (↑# / · X++/ (p -> [[id]o]o,[]o)*)*

 =↑# / · (++ / · (↑# /) ∗ ·(p → [[id]o]o, [ ]o)∗)∗

这一步利用了 ++ 对 ↑# / 分配

原来是对一个列表 X++/ 也就是先用++/叉积再求最长的

这样的列表形如 [ [ [ 2 ] ] , [ [  4 ] ] , [ [ 6 ] ] ]

X++/ 后变成了 [ [ 2 , 4 , 6 ] ] , ↑#/ 后变成 [ 2 , 4 , 6 ]

而先 (↑#/)* 它会变成 [ [ 1 ] , [ 1 ] , [ 1 ] ]

然后再++/ 就变成了 [ 1 , 1 , 1 ]

二者是等价的

可以继续化成

=↑# / · (++ / · (↑# / · p → [[id]o]o, [ ]o)∗)∗

也就是说对一个数x，如果满足p 

就变成 [ [ x ] ] ,然后 ↑# / 变成 [ x ]

如果不满足 p

那么就变成 [ ] ,    ↑# / 变成 Kw = - inf

所以可以化为

= ↑# / · (++ / · (p → [id]o, Kw)∗)∗  

 

Existence Lemma

存在引理

The list function h is a homomorphism iff the implication
h v = h x ∧ h w = h y ⇒ h (v ++ w) = h (x ++ y)
holds for all lists v, w, x, y

证明：

左推右

设 h = ⊕/ · f*