Bird Meertens Formalism--homomorphism

是个神奇的理论啊...

homomorphism（态射）是从一个 monoid（幺半群）到一个 monoid 的线性映射。

幺半群的意思是有幺元，对乘法封闭，乘法满足左右结合律

那么 homomorphism 满足

h id⊕ = id⊗
h (x ⊕ y) = h x ⊗ h y
也就是线性变换应该满足的条件

 

reduce: 也就是 foldr ，把元素从右往左用运算符计算

reduce [a,b,c,d,e,f] = (a + ( b + ( c + ( d + (e + zero))))

 

promotion（升格引理）：

h is a homomorphism from (α, ⊕, id⊕) to (β, ⊗, id⊗) if and only if the following holds.

h · ⊕/ = ⊗/ · h∗

 

也就是说先 reduce 再 map 等价于 先 map 再 reduce

这是两个结论:

 

f ∗ · ++ / = ++ / · f ∗ ∗

先连接再 map f 等价于把对所有的序列都 map ( map f ) 再连接

⊕/ · ++ / = ⊕/ · (⊕/)∗

先连接再 op 等于先 map op 再用 op 连起来

 

注意：map 作用完还是 list ，而 op 作用完就是一个 β 了

 

Identity函数是个态射：

id = ++ / · [·]∗

引理： 

h is a homomorphism from the list monoid if and only if there exist f and ⊕ such that

h = ⊕/ · f∗

也就是说序列上的函数是态射当且仅当它能写成这种形式。

这个时候两个幺半群是( List , ++ , [] ) (β , (*) , id (*) )

证明很妙

=> : h= h · id = ...

<= : h · ++/ = ...

使用上文的 promotion 进行推导

其他 homomorphism ：

#: compute the length of a list.
# = +/ · K1∗

K1是把一个元素变成1

 

reverse = ++˜ / · [·]∗

Here, x⊕˜ y = y ⊕ x

 

all p = ∧/ · p∗

some p = ∨/ · p∗

 All apply to 

[]o 叫做all apply to

[f,g,h]o a = [ f a , g a , h a ]

特别的 []o 为这个态射的零元（作用在任意 a 上都得到 [] ）

[_] = [ id ]o

只是给它加了个壳

[[ id ]o]o a =[ [ id ]o a ] = [ [ a ] ]

（加两层

看起来有点蠢，但一会就不了

 

Conditonal Expressons

h x = if p x then f x else g x

h = (p -> f ,g)

这个挺好理解

h · (p → f, g) = (p → h · f, h · g)
(p → f, g) · h = (p · h → f · h, g · h)
(p → f, f) = f
这是它的规则，也都挺好理解

 

Filter （◁）

p◁ = ++/ (p -> [id]o , [])*

(p◁) · ++ / = ++ / · (p◁)∗

对于 List 的 List ，连起来在 filter 等价于先 filter 再连起来

(p◁) · f∗ = f ∗ ·(p · f)◁

先 map f 再过滤 等价于先过滤，过滤的时候判断 p f 再 map f

 

Cross-priduct

叉积

[a, b]X⊕[c, d, e] = [a ⊕ c, b ⊕ c, a ⊕ d, b ⊕ d, a ⊕ e, b ⊕ e]

[] 是叉积的零元
xX⊕ 是一个homomorphism

 

叉积的 promotion

f ∗ ∗ · X++ / = X++ / · f ∗ ∗∗
(⊕/) ∗ ·X++ / = X⊕/ · (⊕/) ∗ ∗
有点难理解了
首先他的作用对象是 [ [ [a] ] ] , 

即 list 的 list 的 list

X++ 作用在两个 List 的 List 上，把他们各自含有的 list 用 ++ 连接其起来

X++/ 就是对 (List 的 List) 组成的序列 用叉积和++ reduce

太抽象了，来个栗子

X++/ [  [ [ a ] , [ b ] ]  ,  [ [ c , d ] , [ e ] ]  ]  

= [ [ a , c , d ] , [ a , e ] , [ b , c , d ] , [ b , e ] ] 

这么一看就清楚些了

 

 cross-product : takes a list of lists and returns a list of lists of elements, one from each component.

cp [[a, b], [c], [d, e]] =  [ [ a , c , d ] , [ b , c , d ] , [ a , c , e ] , [ b , c , e ] ]
cp = X++ / · ([id]o∗)∗

subs [1,2,3] =  [ [ ] , [ 1 ] , [ 2 ] , [ 3 ] , [ 1 , 2 ] [ 1 , 3 ] , [ 2 , 3 ] [ 1 , 2, 3 ] ]  

subs = X++/·([ []o , [id]o ]o)*

关于层数，可以记为x++/会把三层的降为两层

[id]o加一层，[[id]o]o加两层

++/也是降一层

 

 

 

(all p)◁ 

(all even )◁ [[1,2,3],[2,3],[2,4]] = [[2,4]]

(all p)◁ = ++/ (X++/ · (p->[[id]o]o,[]o)*)*

怎么理解这个呢：

首先对于每个元素 1 2 3  4 这样的

如果满足条件就 变成 [ [ 2 ] ] 否则就变成 []

然后把这些东西 X++/

这样的话只要有 [] 最终结果就是 []  

否则的话就是[ [ [ 2 , 4 ] ] ]

所以还要 reduce 

 

Selection Operation

↑f 

associative, commutative and idempotent
满足结合律，交换律，幂等

幂等应该是说 (x ↑f y) ↑fy = x ↑f y 

selective ：

x ↑f y = x or x ↑f y = y

也就是操作的结果必是 x y 之一

f(x ↑f y) = (f x) ↑ (f y)

这个操作返回较大的值

哎讲了那么一大圈，这个就是给 x ，y 返回 f 作用后较大的那一个

那么自然 f 应该要是单射（否则可能有不同的x y 对应同一 f x）

非单射的时候可以特殊定义一下返回谁