loj2136「ZJOI2015」地震后的幻想乡

「ZJOI2015」地震后的幻想乡

傲娇少女幽香是一个很萌很萌的妹子，而且她非常非常地有爱心，很喜欢为幻想乡的人们做一些自己力所能及的事情来帮助他们。 

这不，幻想乡突然发生了地震，所有的道路都崩塌了。现在的首要任务是尽快让幻想乡的交通体系重新建立起来。幻想乡一共有 $n$ 个地方，那么最快的方法当然是修复 $n-1$ 条道路将这 $n$ 个地方都连接起来。 幻想乡这 $n$ 个地方本来是连通的，一共有 $m$ 条边。现在这 $m$ 条边由于地震的关系，全部都毁坏掉了。每条边都有一个修复它需要花费的时间，第 $i$ 条边所需要的时间为 $e_i$。地震发生以后，由于幽香是一位人生经验丰富，见得多了的长者，她根据以前的经验，知道每次地震以后，每个 $e_i$ 会是一个 $0$ 到 $1$ 之间均匀分布的随机实数。并且所有 $e_i$ 都是完全独立的。

现在幽香要出发去帮忙修复道路了，她可以使用一个神奇的大魔法，能够选择需要的那 $n-1$ 条边，同时开始修复，那么修复完成的时间就是这 $n-1$ 条边的 $e_i$ 的最大值。当然幽香会先使用一个更加神奇的大魔法来观察出每条边 $e_i$ 的值，然后再选择完成时间最小的方案。 幽香在走之前，她想知道修复完成的时间的期望是多少呢？

---

Sol

我们考虑如果知道连接恰好$i$条边能使图联通的概率为$p$

由于算的是期望，把$m+1$提出来后期望的系数是$i$，即$E=\sum i*p_i$

那如果连接$\geq i$条边后使图联通为$P_i$
那么答案就是$ \frac{\sum P_i}{m+1}$

令$f[S][i]$表示点集$S$，用了$i$条边不连通的方案数

令$g[S][i]$表示点集$S$，用了$i$条边连通的方案数

有

$f[S][i]=\sum_{k\in T\subset S} \sum_j g[T][j]*C(num[S-T],i-j)$

相当于我钦定一个点k并枚举k所在的连通块大小.

那么$P_i=f[Max][i]/C(m,i)$

然后就没啦