loj3106「TJOI2019」唱、跳、rap 和篮球

大中锋的学院要组织学生参观博物馆，要求学生们在博物馆中排成一队进行参观。
他的同学可以分为四类：一部分最喜欢唱、一部分最喜欢跳、一部分最喜欢 rap，还有一部分最喜欢篮球。

如果队列中 $k,k + 1,k + 2,k + 3$ 位置上的同学依次，最喜欢唱、最喜欢跳、最喜欢 rap、最喜欢篮球，那么他们就会聚在一起讨论蔡徐坤。
大中锋不希望这种事情发生，因为这会使得队伍显得很乱。

大中锋想知道有多少种排队的方法，不会有学生聚在一起讨论蔡徐坤。
两个学生队伍被认为是不同的，当且仅当两个队伍中至少有一个位置上的学生的喜好不同。
由于合法的队伍可能会有很多种，种类数对 $998244353$ 取模。

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Sol

生成函数？？

我们考虑容斥。
枚举有 $i$ 对讨论的。
答案即 $(-1)^i\times C(n-3i,i) \times [剩下的人随便排的方案]$
可以理解为把四个人压成一个人然后再组合。
考虑怎么算剩下的人的方案。
假设剩下$n$人要排，每种还剩$a,b,c,d$个。
$\sum\limits_{a}C(n,a) \sum\limits_{b}C(n-a,b) \sum\limits_{c}C(n-a-b,c)$
剩下的给$d$。
这个是$n^3$的。
我们枚举AB用了$r$个，C则D用了$n-r$个。

$\sum\limits_{r=0}^{n}C(n,r) \sum\limits_{i=max(0,r-b)}^{min(a,r)}C(r,i) \sum\limits_{i=max(0,n-r-d)}^{min(c,n-r)}C(n-r,i)$
这就是$n^2$的了。

 

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define mod 998244353
#define ll long long
#define maxn 1005
using namespace std;
int N,A,B,C,D; 
ll z[maxn][maxn],s[maxn][maxn],ans;
void init(){
    N=1000;
    for(int i=0;i<=N;i++){
        z[i][0]=s[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++){
            z[i][j]=(z[i-1][j]+z[i-1][j-1])%mod;
            s[i][j]=(s[i][j-1]+z[i][j])%mod;
        }
    }
}
ll CC(int n,int m){
    return z[n][m];
}
ll Sum(int n,int l,int r){
    if(l>r)return 0;
    return s[n][r]-s[n][l-1];
}
ll get(int n,int a,int b,int c,int d){
    if(a<0||b<0||c<0||d<0)return 0;
    ll sum=0,s1,s2;
    for(int r=0;r<=n&&r<=a+b;r++){
        s1=Sum(r,max(0,r-b),min(a,r));
        s2=Sum(n-r,max(0,n-r-d),min(c,n-r));
        sum=(sum+CC(n,r)*s1%mod*s2%mod)%mod;
    }
    return sum;
}
int main(){
    init();
    scanf("%d%d%d%d%d",&N,&A,&B,&C,&D);
    A=min(A,N);B=min(B,N);C=min(C,N),D=min(D,N);
    for(int i=0;i*4<=N;i++){
        ll t=CC(N-3*i,i)*get(N-4*i,A-i,B-i,C-i,D-i)%mod;
        if(i&1)ans=ans-t;
        else ans=ans+t;
        ans%=mod;
    }
    ans=(ans+mod)%mod;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}