contest20191023
slz的题 KCN
雨中的晴天
宫水三叶生活的城市是一个一维平面上的城市。三叶喜欢用一个长度为n的线段来表示这座城市。线段上（包含端点）平均分布着 $n+1$ 个点，其中第 $i$ 个点到第 $i+1$ 个点视为第 $i$ 个区。
最近，这座城市不断的下雨，一直没有放晴，所有人都在期待的晴天。不同的区对晴天的渴望度不一样。三叶通过统计，将第 $i$ 个区的人对晴天的渴望度形式化成 $s_i$ 。
终于，这座城市迎来了久违的晴天。但是晴天的范围没有覆盖整个城市，而是从 $n+1$ 个点中的某一个出发，向往扩散 $d$ 个区。
在晴天下的人们非常开心。形式化的，如果第 $i$ 个区在晴天的覆盖范围内，并且和晴天中心还隔着 $x$ 个区，那么这个区的人的开心值为 $(d-x)^2 \cdot s_i$ 。这个城市的开心值为每一个区的开心值之和。
虽然晴天的地点已经固定了，但是三叶还是想知道如果晴天的地点可以任选，那么最后城市的开心值最大是多少？
sol
有两段，可以分开考虑
每一段形如$ s_i \times 1+s_{i+1} \times 4+s_{i+2} \times 9+...+s_{i+d-1} \times d^2 $
往前移动时，更新的值与原来的值差形如 $ \sum 2 \times (i+x) \times s_i$ x为常数
预处理维护即可。
#include<cstdio> #include<iostream> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> #define maxn 2000006 #define _(d) while(d(isdigit(ch=getchar()))) #define ll long long using namespace std; ll n,s[maxn],d; ll sum[maxn],s1[maxn],s2[maxn],a1,a2,ans,S,T; ll R(){ ll v,f=1;char ch;_(!)if(ch=='-')f=-1; v=(ch^48);_()v=(v<<1)+(v<<3)+(ch^48); return v*f; } int main() { n=R();d=R(); for(ll i=d+1;i<=d+n;i++)s[i]=R(); n=n+d+d; for(ll i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+s[i],s1[i]=s1[i-1]+1LL*i*s[i]; for(ll i=n;i>=1;i--)s2[i]=s2[i+1]+1LL*(n-i+1)*s[i]; for(ll i=1;i<=d;i++)a1+=s[i]*i*i; for(ll i=d+1,j=d;i<=d+d;i++,j--)a2+=s[i]*j*j; ans=max(ans,a1+a2); for(ll i=2;i<=n-d-d;i++){ ll m=i+d-1; a1=a1-s[i-1]+s[m]*d*d; S=sum[m-1]-sum[i-1]; T=(s1[m-1]-s1[i-1])-(i-1)*S; a1=a1-S-2*T; a2=a2-s[m]*d*d+s[m+d]; S=sum[m+d-1]-sum[m]; T=(s2[m+1]-s2[m+d])-S*(n-m-d+1); a2=a2+S+2*T; ans=max(ans,a1+a2); } cout<<ans<<endl; return 0; }
燃烧的火焰
宫水三叶擅长手工，她自己编织了一张网。
这张网可以用一个 $n$ 个点 $m$ 条边的连通图来表示，每一条边都有长度。
但是这张网毕竟是可燃物。某一天，网上的 $k$ 个节点在 $0$ 时刻突然同时被点燃了，火焰以单位速度沿着边向外扩散。具体来说，如果有一条长度为 $l$ 的边连接着点 $x,y$ ，假设第 $i$个 时刻 $x$ 节点被点燃了，那么在 $i+l$ 的时刻 $y$ 节点也会被点燃。反之也是成立的。
如果整张图的 $n$ 个节点全部被点燃了，那么就认为这张图完全被点燃了。
既然着火了，那么首要任务就是救火。三叶请小`H`来帮忙。在 $0$ 时刻时，小`H`随机选择了若干个已经被点燃的点，将它们扑灭。但是，小`H`扑灭了那些点后并没有使整张图完全被点燃的时间推晚！
三叶觉得小`H`运气太差了，于是她想知道这个事件的概率。
形式化的说，小`H`有 $2^k$ 种灭火方案（包含一个都不选）。假设小`H`随机从中选一种，有多少概率选到的灭火方案没能使整张图完全被点燃的时间推晚。
假设在没有灭火时整张图完全被点燃从时刻 $a$ 开始，灭火后整张图完全被点燃从时刻 $b$ 开始，而没能使整张图完全被点燃的时间推晚的方案当且仅当 $a=b$ 。
sol
多源最短路求出每一个点到任意一个着火点的最短距离，即为该点被点燃的时间。
记所有被点燃的最晚时间为Max
考虑一个非法方案，该方案一定会把到某点距离小于等于Max的着火点全部扑灭。
那么可以得到点集S，S的所有超集都是非法方案。
考虑dp f[S]|=f[S-(1<<i)]
效率2^n*n+nlogn
#include<cstdio> #include<iostream> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> #include<queue> #define maxn 100005 #define inf 1e16 #define ll long long #define mod 998244353 using namespace std; int n,m,num,s[22],f[1<<22],head[maxn],tot; int flag[maxn]; ll d[maxn],dis[maxn][22],M[maxn],Max,ans; struct node{ int v,w,nex; }e[maxn*4]; struct no{ int x;ll dist; }; bool operator <(no A,no B){return A.dist>B.dist;} void add(int t1,int t2,int t3){ e[++tot].v=t2;e[tot].w=t3;e[tot].nex=head[t1];head[t1]=tot; } void dij(int S,int id){ priority_queue<no>q; for(int i=1;i<=n;i++)d[i]=inf,flag[i]=0; q.push((no){S,0});d[S]=0; while(!q.empty()){ no k=q.top();q.pop(); if(flag[k.x])continue; flag[k.x]=1; for(int i=head[k.x];i;i=e[i].nex){ if(d[e[i].v]>d[k.x]+e[i].w){ d[e[i].v]=d[k.x]+e[i].w; q.push((no){e[i].v,d[e[i].v]}); } } } for(int i=1;i<=n;i++)dis[i][id]=d[i],M[i]=min(M[i],d[i]); } ll work(ll a,ll N){ ll A=1;for(;N;N>>=1,a=a*a%mod)if(N&1)A=A*a%mod;return A; } int main() { scanf("%d%d%d",&n,&m,&num); for(int i=1;i<=num;i++)scanf("%d",&s[i]); for(int i=1,t1,t2,t3;i<=m;i++){ scanf("%d%d%d",&t1,&t2,&t3); add(t1,t2,t3);add(t2,t1,t3); } for(int i=1;i<=n;i++)M[i]=inf; for(int i=1;i<=num;i++)dij(s[i],i); for(int i=1;i<=n;i++)Max=max(Max,M[i]); int Al=(1<<num)-1; for(int i=1;i<=n;i++){ int t=0; for(int j=1;j<=num;j++){ if(dis[i][j]<=Max)t|=(1<<(j-1)); } int S=(Al^t); f[S]=1; } for(int i=Al;i;i--){ for(int j=1;j<=num;j++){ f[i]|=f[i|(1<<(j-1))]; } } for(int i=1;i<=Al;i++)ans+=f[i]; ans++; ll A=work(work(2,num),mod-2); ans=ans*A%mod;ans=(1-ans+mod)%mod; printf("%lld\n",ans); return 0; }
