超简单(super)

超简单(super)

题目描述

 

有一个n面的骰子，第i面的数是vi，朝上的概率是pi。

教室的最后一排有一个人，不停地抛这个骰子，直到某一面朝上了两次，就停止抛骰子，但他不知道所有朝上的面的数字的和的期望E是多少。

老班一脸嘲讽：“这不是超简单嘛。”

 

 

输入

 

输入的第一行包含一个正整数n。

输入的第二行包含n个正整数，表示vi。

输入的第三行包含n个非负整数，表示模998244353意义下的pi，保证所有pi的和为1。

n,vi,pi的含义见问题描述。

 

输出

 

输出一行一个非负整数E表示模998244353意义下的E。

 

 

样例输入

<span style="color:#333333"><span style="color:#333333">【样例输入】
2
1 2
332748118 665496236
</span></span>

样例输出

<span style="color:#333333"><span style="color:#333333">【样例输出】
961272344
</span></span>

提示

 

【样例说明】

骰子共有2个面。

第一面的数为1，朝上的概率为1/3；

第二面的数为2，朝上的概率为2/3。

所有情况列举如下：

第1次朝上的面	第2次朝上的面	第3次朝上的面	朝上的面的和	概率
1	1	/	2	1/9
1	2	1	4	2/27
1	2	2	5	4/27
2	1	1	4	2/27
2	1	2	5	4/27
2	2	/	4	4/9

所以E=2*1/9+4*2/27+5*4/27+4*2/27+5*4/27+4*4/9=110/27。

【子任务】

测试点	n	vi,pi
1~4	≤8	<998244353
5~8	≤50
9~12	≤100
13~20	≤500

 

noip2017模拟-wmd

 

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solution

期望dp

令f[i][j]表示前i张牌选j张得期望

若f[i][j]=PS,新加入i点，那么新的期望为P*pi*（S+vi）

展开得到PS*pi+P*pi*vi

于是我们还需维护期望的和g[i][j]=P转移式有了 

f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1]*pi+g[i-1][j-1]*vi

我们可以枚举哪一位为出现两次的

效率O(n^3)

jyc神犇有优化

因为这个dp与数的顺序无关（不同顺序丢进去出来的是一个结果）

我们可以把最后一维当成我要禁掉的

倒推出n-1维

效率O(n^2)

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define maxn 505
#define ll long long
#define mod 998244353
using namespace std;
int n;
ll v[maxn],p[maxn],f[maxn][maxn],g[maxn][maxn],ans,h[maxn];
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&v[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&p[i]);
    h[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)h[i]=(h[i-1]*i)%mod;
    for(int i=0;i<=n;i++)g[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++){
            f[i][j]=f[i-1][j]+(f[i-1][j-1]*p[i])%mod+((g[i-1][j-1]*p[i])%mod*v[i])%mod;
            f[i][j]%=mod;
            g[i][j]=g[i-1][j]%mod+g[i-1][j-1]*p[i]%mod;
        }
    for(int b=1;b<=n;b++){
        int vb=v[b],pb=p[b];
        for(int j=1;j<=n;j++){
            f[n-1][j]=f[n][j]-(f[n-1][j-1]*pb)%mod-((g[n-1][j-1]*pb)%mod*vb)%mod;
            f[n][j]%=mod;
            g[n-1][j]=g[n][j]-g[n-1][j-1]*pb%mod;
        }
        n--;
        for(int i=0;i<=n;i++){
            ll tmp=(f[n][i]*pb)%mod*pb;tmp%=mod;
            tmp=tmp+g[n][i]*pb%mod*pb%mod*2*vb%mod;
            ans=ans+(tmp*h[i+1])%mod;ans%=mod;
        }
        n++;
    }
    ans=(ans%mod+mod)%mod;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}