3984: 玩具（toy）
3984: 玩具（toy）
题目描述
这个故事发生在很久以前，在 IcePrincess_1968 和 IcePrince_1968 都还在上幼儿园的时候。
IcePrince_1968 最近迷上了一种玩具，这种玩具中有两种零件：圆球和棍子。棍子的两头可以插在两个圆球上的各一个空洞中，从而将两个圆球连接起来。为了保证玩具的娱乐性，任意一个圆球上的空洞个数总是多于玩具套装中的棍子数。你可以认为圆球是没有体积的，所有棍子的长度均为 1。
IcePrince_1968 喜欢这样玩这种玩具：他先摸出玩具袋里的一个圆球放在地上，然后重复下面的操作 n-1 次：每次从袋中取出一个圆球和一根棍子，然后等概率的从地上的圆球中选择一个，将该圆球和选择的圆球用棍子连起来，使得新的圆球在选中圆球的正上方。
IcePrince_1968 对自己搭出的艺术品很满意，便决定把这个物品送给 IcePrincess_1968 作为生日礼物。然而生日礼物是需要包装的，因为默认圆球没有体积，所以 IcePrince_1968 不用考虑包装盒的长和宽，但是包装盒的高是需要确定的，这里我们假设 IcePrince_1968 是一个非常节俭的孩子，所以包装盒的高总是等于艺术品的高度。IcePrince_1968 想知道自己需要的包装盒的高的期望对质数 p 取模后的值，但他还在上幼儿园，怎么会算呢，于是就请你来帮助他。
输入
输入数据仅一行，包含两个正整数 n,p，表示最终的艺术品中圆球的个数和模数 p。
输出
输入文件仅一行，一个正整数，表示包装盒的高的期望对质数 p 取模后的值。
样例输入
3 998244353样例输出
499122178提示
【输入输出样例 1 解释】
三个圆球组成的艺术品，高度只可能是 1 或者 2，所以高度的期望是 1.5，在模 998244353下的期望是 499122178。
【输入输出样例 2】
见选手目录下的 toy/toy2.in 和 toy/toy2.ans。
【数据规模与约定】
对于 30%的数据，满足 n<=10,p<=1,000,007；
对于 50%的数据，满足 n<=20；
对于 70%的数据，满足 n<=50；
对于 100%的数据，满足 n<=200,p<=1,000,000,007,p 是质数。
来源
神题，完全不知道怎么想
考场只会dfs枚举树的形态
O（n!） 30分
算法三
考虑非指数级的dp。令dp[i][j]表示有i个点按照题目中的方法生成的深度为j的树有多少棵，转移用树上背包，要注意子树的深度是可以小于j-1的，但至少要有一棵子树的深度是j-1,所以背包的还要加一个01状态
似乎可以想
算法四
预处理dp[i][j]表示i个点的森林，有j个点在第一棵树的概率，转移考虑第i个点是否在第一棵子树中，我们有状态转移方程
考虑修改算法三中状态的含义，令f[i][j]表示有i个点的树，深度不超过j的概率，g[i][j]表示有i个点的森林，深度不超过j的概率，f[i][j]直接从g[i-1][j-1]转移来;g[i][j]考虑枚举第一棵树的大小k，从一棵树和一个森林转移来，同时还要乘上第一棵子树大小为k的概率，我们有状态转移方程：
具体的细节可以见标程。最后只要f[n][j]-f[n][j-1]就可以得到深度为j的树的概率。
时间复杂度：O(n^3)
