积分中值定理 等价无穷小 泰勒，在求极限之类的题目使用时机

使用积分中值定理（即积分的平均值定理）来求解极限问题时，确实可以得到一个近似值，但这种方法在处理更高阶无穷小时可能会忽略一些关键的系数，从而导致结果不准确。让我们详细分析为什么使用积分中值定理会得到错误的结果，以及如何正确地解决这个极限问题。

问题回顾

我们需要计算的极限是：

$$\lim_{x \to 0} \frac{\left( \int_0^x \sin t^2 \, dt \right) \cdot \left( \int_0^x \ln(1 + t^3) \, dt \right)}{x^7}$$

已知正确答案是 $\frac{1}{12}$，这是通过使用等价无穷小（泰勒展开）得到的。然而，使用积分中值定理时，你得到的结果是 1。这是为什么呢？

使用积分中值定理的过程(主要介绍这错误的解法)

先说明下面计算的1是错误的结果
积分中值定理指出，对于连续函数 $f(t)$ 在区间 $[0, x]$上，存在一个 $c \in (0, x)$，使得：

$$\int_0^x f(t) \, dt = f(c) \cdot x$$

1. 对于 $\int_0^x \sin t^2 \, dt$，存在 $c_1 \in (0, x)$，使得：

   $$\int_0^x \sin t^2 \, dt = \sin(c_1^2) \cdot x$$

2. 对于 $\int_0^x \ln(1 + t^3) \, dt$，存在 $c_2 \in (0, x)$，使得：

   $$\int_0^x \ln(1 + t^3) \, dt = \ln(1 + c_2^3) \cdot x$$

因此，原极限可以表示为：

$$\frac{ \sin(c_1^2) \cdot \ln(1 + c_2^3) \cdot x^2 }{x^7} = \frac{ \sin(c_1^2) \cdot \ln(1 + c_2^3) }{x^5 }$$

当 $x \to 0$ 时，$c_1$ 和 $c_2$ 也趋近于 0，因此：

$$\sin(c_1^2) \sim c_1^2 \quad \text{和} \quad \ln(1 + c_2^3) \sim c_2^3$$

代入后得到：

$$\frac{ c_1^2 \cdot c_2^3 }{x^5 }$$

由于 $c_1, c_2 \in (0, x)$，我们可以近似认为 $c_1 \sim x$ 和 $c_2 \sim x$，因此：

$$\frac{ x^2 \cdot x^3 }{x^5 } = 1$$

这就是为什么使用积分中值定理时会得到 1 的原因。

为什么积分中值定理给出错误结果

积分中值定理仅仅捕捉了积分的一阶近似，即函数在某个点的值乘以区间长度。这种方法忽略了函数在区间内的变化，特别是当我们需要更高阶的精度时（比如这里的 $x^7$ 阶数），积分中值定理就显得力不从心。

在这个问题中，准确计算需要考虑更高阶的无穷小项(为了说明高阶我们使用泰勒，这里也可以用等价无穷小)：

1. 对 $\sin t^2$ 的展开：

$$\sin t^2 = t^2 - \frac{t^6}{6} + O(t^{10})$$

因此，

$$\int_0^x \sin t^2 \, dt = \frac{x^3}{3} - \frac{x^7}{42} + O(x^{11})$$

2. 对 $\ln(1 + t^3)$ 的展开：

$$\ln(1 + t^3) = t^3 - \frac{t^6}{2} + O(t^9)$$

因此，

$$\int_0^x \ln(1 + t^3) \, dt = \frac{x^4}{4} - \frac{x^7}{14} + O(x^{10})$$

3. 将两者相乘：

$$\left( \frac{x^3}{3} - \frac{x^7}{42} + \cdots \right) \cdot \left( \frac{x^4}{4} - \frac{x^7}{14} + \cdots \right) = \frac{x^7}{12} + \text{更高阶项}$$

因此，极限为：

$$\lim_{x \to 0} \frac{ \frac{x^7}{12} + \cdots }{x^7} = \frac{1}{12}$$

结论

积分中值定理在处理需要高精度的极限问题时，可能无法捕捉到足够的细节，导致结果不准确。在本题中，积分中值定理仅提供了一阶近似，忽略了影响极限值的更高阶项。因此，正确的做法是使用泰勒展开等方法，精确计算积分的高阶无穷小项，从而得到准确的极限值 $\frac{1}{12}$。

积分中值定理 vs 等价无穷小：在求极限之类的题目中使用时机

在处理涉及积分的极限问题时，选择合适的方法至关重要。常见的方法包括积分中值定理和等价无穷小（泰勒展开）。理解这两种方法的适用条件和局限性，有助于在不同情境下做出正确的选择。让我们详细探讨你提出的问题，并分析何时应使用哪种方法。

问题回顾

你提到了两个极限问题：

1. 第一个问题：

   $$\lim_{x \to 0} \frac{\left( \int_0^x \sin t^2 \, dt \right) \cdot \left( \int_0^x \ln(1 + t^3) \, dt \right)}{x^7} = \frac{1}{12}$$

   使用等价无穷小（泰勒展开）可以得到正确答案，但使用积分中值定理时却得到了错误的结果（1）。

2. 第二个问题：

   $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^3} \int_0^{x^2 \sin x} f(u) \, du = 2$$

   这里使用积分中值定理可以得到正确答案。

积分中值定理 vs 等价无穷小

积分中值定理

积分中值定理（或称为积分的平均值定理）指出，对于连续函数 $f(t)$ 在区间 $[a, b]$ 上，存在一个 $c \in (a, b)$，使得：

$$\int_a^b f(t) \, dt = f(c) \cdot (b - a)$$

在极限问题中，当 $a$ 和 $b$ 接近某一点时（如 $a = 0$, $b \to 0$），可以用这个定理将积分表达为函数在某个中间点的值乘以区间长度。

等价无穷小（泰勒展开）

等价无穷小方法通过对被积函数进行泰勒展开，保留足够高阶的项，以便在计算极限时能够精确捕捉到各项之间的关系。这种方法尤其适用于需要高精度近似的情形。

为什么在第一个问题中积分中值定理失效？

让我们详细分析第一个问题：

$$\lim_{x \to 0} \frac{\left( \int_0^x \sin t^2 \, dt \right) \cdot \left( \int_0^x \ln(1 + t^3) \, dt \right)}{x^7}$$

使用积分中值定理

应用积分中值定理，我们有：

$$\int_0^x \sin t^2 \, dt = \sin(c_1^2) \cdot x \quad \text{其中} \quad c_1 \in (0, x)$$

$$\int_0^x \ln(1 + t^3) \, dt = \ln(1 + c_2^3) \cdot x \quad \text{其中} \quad c_2 \in (0, x)$$

因此，极限可以表示为：

$$\frac{ \sin(c_1^2) \cdot \ln(1 + c_2^3) \cdot x^2 }{x^7} = \frac{ \sin(c_1^2) \cdot \ln(1 + c_2^3) }{x^5 }$$

当 $x \to 0$，$c_1$ 和 $c_2$ 也趋近于 0，因此：

$$\sin(c_1^2) \sim c_1^2 \quad \text{和} \quad \ln(1 + c_2^3) \sim c_2^3$$

代入后得到：

$$\frac{ c_1^2 \cdot c_2^3 }{x^5 }$$

由于 $c_1, c_2 \in (0, x)$，我们可以近似认为 $c_1 \sim x$ 和 $c_2 \sim x$，因此：

$$\frac{ x^2 \cdot x^3 }{x^5 } = 1$$

这导致了错误的结果 $1$ 而非正确答案 $\frac{1}{12}$。

为什么会出错？

积分中值定理仅捕捉了积分的一阶近似（即函数在某个点的值乘以区间长度），忽略了函数在区间内的变化情况。在本题中，积分的主要贡献来自于更高阶的无穷小项，特别是分母 $x^7$ 的高阶特性，使得更高阶的近似项对极限值产生了显著影响。因此，积分中值定理在这里忽略了这些关键的高阶项，导致结果不准确。

正确的做法：泰勒展开/等价无穷小

第一种做法 等价无穷小

要计算这个极限：

$$\lim_{x \to 0} \frac{\left( \int_0^x \sin t^2 \, dt \right) \cdot \left( \int_0^x \ln(1 + t^3) \, dt \right)}{x^7}$$

我们可以使用等价无穷小方法，将被积函数在 $x$ 很小时进行近似：

1. $\int_0^x \sin t^2 \, dt$ 在 $x$ 处的等价无穷小：

   • $\sin t^2 \sim t^2$ 当 $t$ 很小时。
   • $\int_0^x t^2 \, dt = \frac{x^3}{3}$，因此 $\int_0^x \sin t^2 \, dt \sim \frac{x^3}{3}$。

2. $\int_0^x \ln(1 + t^3) \, dt$ 在 $x$ 处的等价无穷小：

   • $\ln(1 + t^3) \sim t^3$ 当 $t$ 很小时。
   • $\int_0^x t^3 \, dt = \frac{x^4}{4}$，因此 $\int_0^x \ln(1 + t^3) \, dt \sim \frac{x^4}{4}$.

将这些近似值代入原表达式：

$$\frac{\left( \frac{x^3}{3} \right) \cdot \left( \frac{x^4}{4} \right)}{x^7} = \frac{\frac{x^7}{12}}{x^7} = \frac{1}{12}$$

因此，极限值为：

$$\boxed{\frac{1}{12}}$$

第二种做法 泰勒展开

通过泰勒展开，我们可以更精确地计算积分：

1. 对 $\sin t^2$ 的展开：

   $$\sin t^2 = t^2 - \frac{t^6}{6} + O(t^{10})$$

   积分后：

   $$\int_0^x \sin t^2 \, dt = \frac{x^3}{3} - \frac{x^7}{42} + O(x^{11})$$

2. 对 $\ln(1 + t^3)$ 的展开：

   $$\ln(1 + t^3) = t^3 - \frac{t^6}{2} + O(t^9)$$

   积分后：

   $$\int_0^x \ln(1 + t^3) \, dt = \frac{x^4}{4} - \frac{x^7}{14} + O(x^{10})$$

3. 将两者相乘：

   $$\left( \frac{x^3}{3} - \frac{x^7}{42} + \cdots \right) \cdot \left( \frac{x^4}{4} - \frac{x^7}{14} + \cdots \right) = \frac{x^7}{12} + \text{更高阶项}$$

   因此，极限为：

   $$\lim_{x \to 0} \frac{ \frac{x^7}{12} + \cdots }{x^7} = \frac{1}{12}$$

通过保留足够高阶的项，等价无穷小方法能够准确捕捉到影响极限值的关键因素，从而得到正确的结果。

为什么在第二个问题中积分中值定理有效？

考虑第二个问题：

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^3} \int_0^{x^2 \sin x} f(u) \, du$$

假设 $f(u)$ 在 $u = 0$ 处连续，并且 $f(0) = 2$。

使用积分中值定理

应用积分中值定理：

$$\int_0^{x^2 \sin x} f(u) \, du = f(\xi) \cdot (x^2 \sin x) \quad \text{其中} \quad \xi \in (0, x^2 \sin x)$$

因此，极限可以表示为：

$$\frac{ f(\xi) \cdot x^2 \sin x }{x^3 } = f(\xi) \cdot \frac{ \sin x }{x } \cdot \frac{x^2}{x^3} = f(\xi) \cdot \frac{ \sin x }{x } \cdot \frac{1}{x}$$

当 $x \to 0$，由于 $\sin x \sim x$，且 $\xi \to 0$，所以：

$$\frac{ \sin x }{x } \approx 1 \quad \text{且} \quad f(\xi) \approx f(0) = 2$$

因此，极限为：

$$2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{x} \cdot x = 2$$

为什么积分中值定理有效？

在这个问题中，积分的上限 $x^2 \sin x$ 也是一个高阶无穷小（$x^3$ 级别），而分母 $x^3$ 正好与积分上限的阶数匹配。因此，积分中值定理所提供的近似 $f(\xi) \cdot x^2 \sin x$ 捕捉到了主要的贡献，而不需要考虑更高阶的项。这使得积分中值定理在这个情境下能够准确地反映出极限的真实值。

如何判断何时使用积分中值定理或等价无穷小？

以下是一些指导原则，帮助你在不同情境下选择合适的方法：

1. 观察分母的阶数：

   • 较低阶数：如果分母的阶数较低，并且积分上限的阶数能够直接与分母匹配，积分中值定理通常足够。
   • 较高阶数：如果分母的阶数较高，可能需要考虑积分中值定理无法捕捉到的更高阶项，此时需要使用等价无穷小。

2. 函数的行为：

   • 连续且在极限点非零：如果被积函数在极限点连续且不为零，积分中值定理通常适用。
   • 被积函数在极限点为零：如果被积函数在极限点为零，可能存在更高阶的无穷小，需要使用等价无穷小来捕捉细微变化。

3. 需要的精度：

   • 一阶近似足够：如果只需要知道极限的主要趋势，积分中值定理即可。
   • 高精度要求：如果需要精确的极限值，尤其是涉及到高阶无穷小的情况，等价无穷小更为适用。

4. 函数的展开复杂性：

   • 容易展开：如果被积函数容易进行泰勒展开，且展开后能够清晰地看到主要贡献，等价无穷小方法是理想选择。
   • 难以展开：如果函数的泰勒展开复杂或难以进行，积分中值定理可能更为简便。

5. 积分上限的表达式：

   • 简单形式：如果积分上限是简单的函数形式，积分中值定理容易应用。
   • 复杂形式：如果积分上限涉及高阶无穷小或复合函数，等价无穷小方法可能更适合。

总结

• 积分中值定理适用于被积函数在积分区间内变化不大的情形，特别是当积分上限的阶数与分母的阶数匹配，且不需要高阶精度时。

• 等价无穷小-泰勒展开适用于需要高精度近似，特别是当被积函数在极限点有更复杂行为，或者当积分上限的阶数较高，需要精确捕捉高阶无穷小的贡献时。

在实际应用中，先评估分母和积分上限的阶数，观察被积函数在极限点的行为，然后选择最适合的方法。如果积分中值定理提供的近似不足以捕捉关键的高阶项，转而使用等价无穷小方法将是更稳妥的选择。

实际根据我做题经验 只要使用中值定理提取出的 $f(\xi) \nrightarrow 0$，就可以使用中值定理，否则使用等价无穷小（同样可以使用广义积分中值定理）