关于3B1B特征向量那一节斐波那契用矩阵求解问题

合集 - 数学学习(3)

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我们知道对于矩阵 $A^n$，它可以通过特征向量的线性组合来进行相似对角化，先$D = P^{-1}AP$ 后 $A^{n} = PD^nP^{-1}$，其中 $D$ 是一个由特征值组成的对角矩阵，$P = [v_1, v_2]$ 是一个包含线性无关的特征向量的矩阵。

对于矩阵 $A = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 1\end{bmatrix}$，我们已经求出了两个线性无关的特征向量：

$$v_1 = \begin{bmatrix}2 \\ 1 + \sqrt{5}\end{bmatrix}, \quad v_2 = \begin{bmatrix}2 \\ 1 - \sqrt{5}\end{bmatrix}.$$

把这两个向量按列排成矩阵 $P$：

$$P = \begin{bmatrix}2 & 2 \\ 1 + \sqrt{5} & 1 - \sqrt{5}\end{bmatrix}.$$

矩阵 $P^{-1}$ 可以通过求 $P$ 的逆矩阵得到：

$$P^{-1} = -\frac{1}{4\sqrt{5}} \begin{bmatrix}1 - \sqrt{5} & -2 \\ -1 - \sqrt{5} & 2 \end{bmatrix}.$$

我们有 $D = PAP^{-1}$，其中

$$D = \begin{bmatrix}\lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1 + \sqrt{5}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\end{bmatrix}$$

是特征值组成的对角矩阵。

我们可以把 $A^n$ 表示为 $PD^nP^{-1}$。由于 $D$ 是对角矩阵，我们可以直接将 $D$ 的每个元素取 $n$ 次幂：

$$D^n = \begin{bmatrix}\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n & 0 \\ 0 & \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n\end{bmatrix}.$$

然后再将 $D^n$ 代入 $PD^nP^{-1}$，得到：

$$A^n = P\begin{bmatrix}\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n & 0 \\ 0 & \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n\end{bmatrix}P^{-1} = \frac{1}{4\sqrt{5}}\begin{bmatrix}2(\sqrt{5}-1)\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n + 2(1+\sqrt{5})\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n & 4\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - 4\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \\ 4\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - 4\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n & 2(1+\sqrt{5})\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - 2(1-\sqrt{5})\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\end{bmatrix}.$$

下面是完整的 $A^n$ 的表达式：

$$A^n = P\begin{bmatrix}\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n & 0 \\ 0 & \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n\end{bmatrix}P^{-1} = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{bmatrix}\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1} - \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1} & \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \\ \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n & \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} - \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\end{bmatrix}.$$

交换特征向量

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那一开始那个地方的$P = [v_1, v_2]$这里可否换成$P = [v_2, v_1]$呢

在本题中，将 $P$ 中的顺序进行交换后，矩阵 $P$ 和其逆矩阵 $P^{-1}$ 的计算结果分别为：

$$P^{-1}=\frac{1}{4\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 1+\sqrt{5} & -2 \\ \sqrt{5}-1 & 2 \end{pmatrix}.$$

特征值反了过来

$$D = \begin{bmatrix}\frac{1 - \sqrt{5}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\end{bmatrix}$$

$$D^n = \begin{bmatrix}\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n & 0 \\ 0 & \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n\end{bmatrix}.$$

接下来，我们可以按照 $P$ 和 $P^{-1}$ 的结果，计算 $A^n$ 的表达式：

结果很惊讶，第一次算 得出的结果居然和[v1,v2]一样

$$A^n = P\begin{bmatrix}\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n & 0 \\ 0 & \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n\end{bmatrix}P^{-1} = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{bmatrix}\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1} - \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1} & \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \\ \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n & \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} - \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\end{bmatrix}.$$

也就是说这里不管p[v1,v2]或者p[v2,v1]两者都可以，跟顺序无关。

最后再说一下，md语法写数学公式是真的麻烦，一大堆难免有符号之类的错误，如果有错误希望各位大佬能指正。

附上md写数学公式的图🤮