关于3B1B特征向量那一节斐波那契用矩阵求解问题
我们知道对于矩阵 \(A^n\)，它可以通过特征向量的线性组合来进行相似对角化，先\(D = P^{-1}AP\) 后 \(A^{n} = PD^nP^{-1}\)，其中 \(D\) 是一个由特征值组成的对角矩阵，\(P = [v_1, v_2]\) 是一个包含线性无关的特征向量的矩阵。
对于矩阵 \(A = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 1\end{bmatrix}\)，我们已经求出了两个线性无关的特征向量：
\[v_1 = \begin{bmatrix}2 \\ 1 + \sqrt{5}\end{bmatrix}, \quad
v_2 = \begin{bmatrix}2 \\ 1 - \sqrt{5}\end{bmatrix}.
\]
把这两个向量按列排成矩阵 \(P\)：
\[P = \begin{bmatrix}2 & 2 \\ 1 + \sqrt{5} & 1 - \sqrt{5}\end{bmatrix}.
\]
矩阵 \(P^{-1}\) 可以通过求 \(P\) 的逆矩阵得到：
\[P^{-1} = -\frac{1}{4\sqrt{5}} \begin{bmatrix}1 - \sqrt{5} & -2 \\ -1 - \sqrt{5} & 2 \end{bmatrix}.
\]
我们有 \(D = PAP^{-1}\)，其中
\[D = \begin{bmatrix}\lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1 + \sqrt{5}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\end{bmatrix}
\]
是特征值组成的对角矩阵。
我们可以把 \(A^n\) 表示为 \(PD^nP^{-1}\)。由于 \(D\) 是对角矩阵，我们可以直接将 \(D\) 的每个元素取 \(n\) 次幂：
\[D^n = \begin{bmatrix}\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n & 0 \\ 0 & \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n\end{bmatrix}.
\]
然后再将 \(D^n\) 代入 \(PD^nP^{-1}\)，得到：
\[A^n = P\begin{bmatrix}\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n & 0 \\ 0 & \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n\end{bmatrix}P^{-1} = \frac{1}{4\sqrt{5}}\begin{bmatrix}2(\sqrt{5}-1)\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n + 2(1+\sqrt{5})\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n & 4\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - 4\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \\ 4\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - 4\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n & 2(1+\sqrt{5})\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - 2(1-\sqrt{5})\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\end{bmatrix}.
\]
下面是完整的 \(A^n\) 的表达式：
\[A^n = P\begin{bmatrix}\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n & 0 \\ 0 & \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n\end{bmatrix}P^{-1} = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{bmatrix}\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1} - \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1} & \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \\ \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n & \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} - \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\end{bmatrix}.
\]
交换特征向量
那一开始那个地方的\(P = [v_1, v_2]\)这里可否换成\(P = [v_2, v_1]\)呢
在本题中，将 \(P\) 中的顺序进行交换后，矩阵 \(P\) 和其逆矩阵 \(P^{-1}\) 的计算结果分别为：
\[P^{-1}=\frac{1}{4\sqrt{5}}\begin{pmatrix}
1+\sqrt{5} & -2 \\
\sqrt{5}-1 & 2
\end{pmatrix}.
\]
特征值反了过来
\[D = \begin{bmatrix}\frac{1 - \sqrt{5}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\end{bmatrix}
\]
\[D^n = \begin{bmatrix}\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n & 0 \\ 0 & \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n\end{bmatrix}.
\]
接下来，我们可以按照 \(P\) 和 \(P^{-1}\) 的结果，计算 \(A^n\) 的表达式：
结果很惊讶，第一次算 得出的结果居然和[v1,v2]一样
\[A^n = P\begin{bmatrix}\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n & 0 \\ 0 & \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n\end{bmatrix}P^{-1} = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{bmatrix}\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1} - \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1} & \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \\ \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n & \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} - \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\end{bmatrix}.
\]
也就是说这里不管p[v1,v2]或者p[v2,v1]两者都可以，跟顺序无关。
最后再说一下，md语法写数学公式是真的麻烦，一大堆难免有符号之类的错误，如果有错误希望各位大佬能指正。
附上md写数学公式的图🤮
