2.判断线性无关的办法，以及线性相关或者线性无关的笔记截图2023-05-23

3.关于3B1B特征向量那一节斐波那契用矩阵求解问题2023-05-30

线性无关性是向量组中一个非常重要的概念。如果一个向量组是线性无关的，那么它的每个向量都不能表示成其余向量的线性组合，而只能表示成自身的线性组合。

有很多方法来判断一个向量组是否线性无关，其中一种常用的方法是：检查向量组的行列式是否为零。

具体来说，一个向量组 $v_1,v_2,\ldots,v_n$ 是线性无关的，当且仅当它们构成的矩阵的行列式不等于零，即：

det (\begin{matrix} v_{1} & v_{2} & \dots & v_{n} \end{matrix}) \neq 0

$\det\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & \cdots & v_n \end{pmatrix} \neq 0$

如果行列式为零，则向量组线性相关，否则线性无关。

例如，对于向量组 ${\bf v_1} = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, {\bf v_2} = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},{\bf v_3} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ ，可以构造如下的行列式：

det (\begin{matrix} v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{matrix}) = det (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1

$\det\begin{pmatrix}{\bf v_1} & {\bf v_2} & {\bf v_3}\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=1\cdot 1\cdot 1 =1$

因此，可以得出结论，向量组 ${\bf v_1, v_2, v_3}$ 是线性无关的。

需要注意的是，此方法只适用于有限维向量空间中的向量组。在无限维向量空间中，有时需要使用其他的方法来判断向量组的线性无关性。

除了行列式法之外，还有其他的方法来判断向量组是否线性无关。其中一个方法是利用向量组的线性表示来判断它们是否线性无关。

假设有向量组 $v_1,v_2,\ldots,v_n$ ，则对于任意的实数 $c_1,c_2,\ldots,c_n$ ，如果以下线性方程组：

c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2} + \dots + c_{n} v_{n} = 0

$c_1{\bf v_1}+c_2{\bf v_2}+\cdots+c_n{\bf v_n} = {\bf 0}$

只有 $c_1=c_2=\cdots=c_n=0$ 时有解，则向量组 $v_1,v_2,\ldots,v_n$ 是线性无关的。否则，如果存在 $c_1,c_2,\ldots,c_n$ 中至少有一个不为零，使得该线性方程组有解，则向量组 $v_1,v_2,\ldots,v_n$ 是线性相关的。

例如，在向量空间 $\mathbb{R}^3$ 中，假设向量组 ${\bf v_1}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, {\bf v_2}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}, {\bf v_3}=\begin{pmatrix}4\\-1\\1\end{pmatrix}$ ，判断这个向量组是否线性无关。

对于任意的 $c_1,c_2,c_3$ ，线性方程组 $c_1{\bf v_1}+c_2{\bf v_2}+c_3{\bf v_3}={\bf 0}$ 可以写成矩阵方程组的形式：

(\begin{matrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix}1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1 \\ c_2 \\ c_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$

通过高斯消元法或矩阵求逆的方法，可以求出该矩阵的逆矩阵：

{(\begin{matrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})}^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & - 2 & - 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

$\begin{pmatrix}1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

因此，如果 $c_1{\bf v_1}+c_2{\bf v_2}+c_3{\bf v_3}={\bf 0}$ ，则有:

(\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & - 2 & - 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = 0

$\begin{pmatrix}c_1 \\ c_2 \\ c_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}={\bf 0}$

因此，向量组 ${\bf v_1,v_2,v_3}$ 是线性无关的。