关于伽马函数的一些问题

合集 - 数学学习(3)

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伽马函数（Gamma function）是数学中的一种特殊函数，具体定义为：

$\Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt$

其中，$x$是实数，满足$x>0$。

伽马函数可以用于计算概率分布、统计学、物理学等多个领域中的相关问题。

为了简单记忆伽马函数的定义，可以参考以下方法：

1. 将伽马函数定义记为一个积分式，$x$的系数为$(x-1)$，即$\int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt$。
2. 可以将伽马函数看作是阶乘函数的连续扩展。当$x$为正整数时，$\Gamma(x) = (x-1)!$。
3. 伽马函数具有递推关系式：$\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$。通过这个递推关系式，可以方便地计算伽马函数在某些正整数处的取值。
4. 伽马函数也具有一些特殊的性质，比如$\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$，这可以通过换元法推导得出。

综上所述，通过记忆这些简单的性质和方法，就可以更好地理解和应用伽马函数。

第一条意思是说

伽马函数的定义是一个积分式，具体为：

$$\Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt$$

其中，$x$是一个实数，满足$x>0$。这个积分式的定义式可以看作是一个广义的阶乘函数，它扩展了正整数阶乘的概念，使得我们可以将阶乘的概念推广到实数或复数上。

例如，当$x$为正整数$n$时，$\Gamma(n)$的值就等于$(n-1)!$，即：

$$\Gamma(n) = (n-1)!$$

当$x$为小数或分数时，$\Gamma(x)$可以通过积分来计算。虽然这个积分式看起来复杂，但是它在统计学、物理学中都有着广泛的应用，尤其是可以用于计算概率分布函数、面积、体积、等等。同时，伽马函数也有很多特殊的性质和递推式，使得它在数学中有着重要的地位和应用价值。

第二条意思是

当$x$为正整数时，$\Gamma(x)$的值可以用普通阶乘$(x!)$的形式来表示，即：

$$\Gamma(x) = (x-1)!$$

例如，$\Gamma(4) = (4-1)! = 3! = 6$，$\Gamma(5) = (5-1)! = 4! = 24$，等等。

这个公式的证明可以通过数学归纳法得到。首先，当$x=1$时，$\Gamma(1) = \int_0^{\infty} t^{0} e^{-t} dt = 1$，而$1-1 = 0$，因此$\Gamma(1) = 0! = 1$。

然后，假设公式对于$x=k$成立，即$\Gamma(k) = (k-1)!$，我们来证明它对于$x=k+1$也成立，即$\Gamma(k+1) = k!$。

通过积分换元，我们将积分的自变量$t$替换为$u=t/k$，得到：

$$\begin{aligned} \Gamma(k+1) & = \int_0^{\infty} t^{k} e^{-t} dt \\ & = k \int_0^{\infty} (ku)^{k} e^{-ku} k du \\ & = k^{k+1} \int_0^{\infty} u^{k} e^{-ku} du \\ & = k^{k+1} \Gamma(k) \\ & = k^{k+1} \cdot (k-1)! \\ & = k! \end{aligned}$$

因此，通过归纳法，公式对于所有正整数$x$成立。

第三条意思是

伽马函数满足递推关系$\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$，即当$x$为任意实数时，$\Gamma(x+1)$可以通过$\Gamma(x)$来计算。

这个递推关系可以通过伽马函数的定义式直接推导得出。首先，我们将积分中的下限从0改为1：

$$\Gamma(x) = \int_1^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt$$

然后，将积分内的$x-1$部分替换为$x$，并将$t$替换为$t/x$：

$$\begin{aligned} \Gamma(x) & = \int_1^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt \\ & = \int_1^{\infty} \left(\frac{t}{x}\right)^{x} e^{-t} \frac{dt}{x} \\ & = \frac{1}{x} \int_x^{\infty} u^{x-1} e^{-u} du \\ & = \frac{1}{x} \Gamma(x+1) \end{aligned}$$

因此，我们可以得到递推式$\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$。

例如，可以用递推式来计算$\Gamma(5)$的值。首先，$\Gamma(4)$的值可以通过$\Gamma(3)$来计算，即$\Gamma(4) = 3\Gamma(3)$。然后，$\Gamma(3)$的值可以通过$\Gamma(2)$来计算，即$\Gamma(3) = 2\Gamma(2)$。继续使用递推式，可以得到：

$$\begin{aligned} \Gamma(5) & = 4\Gamma(4) \\ & = 4 \cdot 3\Gamma(3) \\ & = 4 \cdot 3 \cdot 2\Gamma(2) \\ & = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\Gamma(1) \\ & = 4! \\ & = 24 \end{aligned}$$

因此，通过递推关系式，我们可以方便地计算伽马函数在某些正整数处的取值。

第四条意思是

伽马函数具有一些特殊的性质，其中一个比较常见的是$\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$。

这个性质可以通过积分计算得出。首先，我们将伽马函数的定义式代入$\Gamma(1/2)$中：

$$\Gamma(1/2) = \int_0^{\infty} t^{-1/2} e^{-t} dt$$

然后，我们进行变量替换，令$u = \sqrt{t}$，则有：

$$\begin{aligned} \Gamma(1/2) & = \int_0^{\infty} t^{-1/2} e^{-t} dt \\ & = \int_0^{\infty} u^{-1} e^{-u^2} 2u du \\ & = 2 \int_0^{\infty} e^{-u^2} du \end{aligned}$$

上式的积分式正是高斯函数的定义式，因此：

$$\begin{aligned} \Gamma(1/2) & = 2 \int_0^{\infty} e^{-u^2} du \\ & = \sqrt{\pi} \end{aligned}$$

因此，我们得到了伽马函数在$x=1/2$处的取值。这个性质在概率论、统计学以及量子力学等多个学科中都被广泛应用。