费马小定理证明快速幂求逆元

费马小定理证明快速幂求逆元

费马小定理： $p$为质数， $a$ 为任意自然数，且不存在 $a|p$ 则

$a^p\equiv a(modp)$

证明：

显然当 $a=1$ 的时候成立，此时$1\equiv 1(modp)$

假设 $p|(a^p-a)$

考虑 $(a+1{)}^p-(a+1)$

$=\sum _{k=0}^p{C}_p^k{a}^k-a-1$

$=\sum _{k=1}^{p-1}{C}_p^k{a}^k+a^p-a$

易知$C_p^k=\frac{P!}{k!\ast (p-k)!}$

即$p|\sum _{k=1}^{p-1}{C}_p^k$ ， 又 $p|(a^p-a)$

所以 $p|{(a+1)}^p-(a+1)$

根据数学归纳法可得$a^p\equiv a(modp)$

即$a^{p-1}\equiv 1(modp)$ ，$a\ast a^{p-2}\equiv 1(modp)$

又$a\ast a^{-1}\equiv 1(modp)$

所以 $a^{p-2}$ 为 $a$ 在模 $p$ 意义下的逆元