C. Maximum Set[数学] [*1300-*1500]

C. Maximum Set[数学] [*1300-*1500]

题目链接点我

题意：

一个集合是漂亮的，如果他的每一个元素都是集合中其他元素的倍数或者因子

给定你一个 $l$ 和 $r$

让你找出在 $(l,r)$ 区间内可以组成的元素数量最多的漂亮的集合

并给出元素数量最多的集合的数目

思路：

如果每一个元素都是其他元素的倍数或者因子

我们定义 $$v=\underset{n\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }ans}{\mathrm{\Delta }n}$$ ($v$ 是贡献率，为瞬时 $n$ 变化时对答案 $ans$ 的贡献率)

那么我们可以发现，当倍数都是2时，对答案的贡献率 $v$ 是最大的

也就是到相同的长度需要的元素大小最小(可以观察发现，不再进行证明)

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但是

还有一种特殊情况

也就是比如说 在 $(4,100)$ 区间内

从 $4$~$64$ 的长度是5

如果将其中的一个2倍替换成3倍呢

那么 $4$~$96$ 的长度也是5

我们发现也是可以成立的

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如果将两个2倍替换成3倍呢

我们可以发现$3\ast 3>2\ast 2\ast 2$

所以如果存在这种情况我们就可以将 两个3替换成三个2

从而让集合的长度加一

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那么我们将其中的一个2倍替换成4倍呢

这种情况就不行了

为什么呢？

因为4倍可以拆成两个2倍，也就是在元素大小相同的情况下，2倍可以让集合的长度更长

所以也就是不存在的

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大于4的情况因为 $v$ 均比4的情况小

所以也都是不存在的

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那么我们就将情况化简成立了仅有全是2 和 仅有一个3的情况

那么就可以愉快的解决这道问题了

key code

int l,r;
void solve(){
	//try it again.
	cin>>l>>r;
	int k=0;
	while((1<<k)*l<=r)k++;k--;
	int ans=(r>>k)-l+1;
	if(k>0){
		r>>=k-1;
		r/=3;
		if(r>=l)ans+=k*(r-l+1);
	}
	cout<<++k<<" "<<ans<<endl;
}