(转）五大常用算法之一：分治算法
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分治算法
一、基本概念
在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……
任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。
二、基本思想及策略
分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。
如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
三、分治法适用的情况
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。
第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；
第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；、
第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。
第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。
四、分治法的基本步骤
分治法在每一层递归上都有三个步骤：
step1 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
step2 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题
step3 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。
它的一般的算法设计模式如下：
Divide-and-Conquer(P)
1. if |P|≤n0
2. then return(ADHOC(P))
3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk
4. for i←1 to k
5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi
6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子问题
7. return(T)
其中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P。因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,...,Pk的相应的解y1,y2,...,yk合并为P的解。
五、分治法的复杂性分析
一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n／m的子问题去解。设分解阀值n0=1，且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有：
T（n）= k T(n/m)+f(n)
通过迭代法求得方程的解：
递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为T(n)足够平滑，那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的，从而当 mi≤n<mi+1时，T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。
（8）最接近点对问题
1 public class MergeSort : SortBase, ISort 2 { 3 public MergeSort(int[] array) : base(array) { } 4 5 6 public int[] Sort() 7 { 8 mergeSort(result, 1, result.Length-1); 9 return result; 10 } 11 private void mergeSort(int[] A,int p,int r) 12 { 13 int q = (p + r) / 2; 14 if (p < r) 15 { 16 mergeSort(A, p, q); 17 mergeSort(A, q + 1, r); 18 merge(A,p, q, r); 19 } 20 } 21 private void merge(int[] A, int p, int q, int r) 22 { 23 int[] L1 = new int[q - p + 1+1]; 24 int[] L2 = new int[r - q +1]; 25 Array.Copy(A, p, L1, 0,q - p + 1); 26 Array.Copy(A, q+1, L2, 0,r - q ); 27 L1[q - p + 1] = int.MaxValue; 28 L2[r - q] = int.MaxValue; 29 int i = 0, j = 0,z=p; 30 for (; z<r+1 ;z++) 31 { 32 if (L1[i] < L2[j]) { A[z] = L1[i]; i++; } 33 else { A[z] = L2[j]; j++; } 34 } 35 //if (i < L1.Length) 36 // Array.Copy(A, z - 1, L1, i,L1.Length - i); 37 //else if(j<L2.Length ) 38 // Array.Copy(A, z - 1, L2, j, L2.Length - j); 39 } 40 }
快速排序代码：
public class QuickSort : SortBase, ISort
{
public QuickSort(int[] array) : base(array) { }
public int[] Sort()
{
quicksortbase(result, 1, result.Length - 1);
return result ;
}
private void quicksortbase(int[] array, int low, int high)
{
if (high > low)
{
int i = low, j = high;
int pivot = array[low];
while (i < j)
{
while (i < j && array[j] > pivot) j--;
if (i < j) array[i++] = array[j];
while (i < j && array[i] < pivot) i++;
if (i < j) array[j--] = array[i];
}
array[i] = pivot;
quicksortbase(array, low, i - 1);
quicksortbase(array, i + 1, high);
}
}
}
