深入理解线性模型（二）---基于似然函数的估计

更新时间：2019.10.31

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1. 引言

  在上一篇中，我们从损失函数的角度出发讨论了$\beta$和$\sigma$的估计。在本篇将换一种极具统计味道的角度，从似然函数出发来讨论了$\beta$和$\sigma$的估计。从中我们也将看见，在不同的假设中，损失函数将会发生不同的变化。

2. 关于$\varepsilon$假设

  在上一篇(基于损失函数的估计)中，我们提到，对于线性模型，我们常常使用Guass-Markov假设，即：

1. \(E(\varepsilon) = 0\)
2. \(cov(\varepsilon) = \sigma^2 I_n\)

  但是，实际上我们同方差的假设是总是不满足的，完整来说，对$\varepsilon$的假设应该有三种：

1. 同方差，且各个随机误差变量不相关：\(cov(\varepsilon) = \sigma^2 I_n\)
2. 异常差，但各个随机误差变量不相关，\(cov(\varepsilon) = diag(\sigma_1^2, \sigma_2^2, \cdots, \sigma_n^2)\)
3. 异方差，且各个随机误差变量是相关的，

\[ cov(\varepsilon) = \begin{pmatrix} \sigma_{11}^2 & cov(\varepsilon_1, \varepsilon_2) & \cdots & cov(\varepsilon_1, \varepsilon_n)\\ cov(\varepsilon_2, \varepsilon_1) & \sigma_{22}^2 & \cdots & cov(\varepsilon_2, \varepsilon_n)\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ cov(\varepsilon_n, \varepsilon_1) & cov(\varepsilon_n, \varepsilon_2) & \cdots & \sigma_{nn}^2 \end{pmatrix} \]

  此时，记$cov(\varepsilon) = \Sigma$

3. 基于似然函数的估计

  之前是从损失函数的角度进行参数的估计，但是实际上每个损失函数都应该对应着一个分布，并使得分布的似然函数达到最大
  我们知道在X给定的情况下，似然函数$L(\theta;Y,X) = P_{\theta}(Y_1 = y_1, Y_2 = y_2, \cdots, Y_n = y_n)$。假设$Y_1, Y_2, \cdots, Y_n$是独立的，有$L(\theta;Y,X) = \prod_^nP(Y = y_i)$。当是离散情况的时候，可以进一步化为：\(L(\theta;Y,X) = \prod_{i=1}^nP_i(\theta)\)。当是连续情况的时候，则可以化为：\(L(\theta;Y,X) = \prod_{i=1}^n f(y_i;\theta)\)

3.1 基于假设1

  如果满足假设1，\(cov(\varepsilon) = \sigma^2 I_n\)， 并加上一个正态性的假设，即有$\varepsilon_i \sim N(0, \sigma^{2)$，那么，\(y_i = x_i\beta + \varepsilon_i \sim N(x_i\beta, \sigma^2)\)，那么有似然函数：
\begin
\begin
L(\beta, \sigma}2, Y, X) & = \prod_^{n f(y_i)\\
& = \prod_n \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e{- \frac{(y_i - x_i \beta)2}{2 \sigma2}}\\
& = (\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma})n e{- \frac{1}{2 \sigma}2} \displaystyle \sum_^n(y_i - x_i\beta)^2}
\end
\end

  可以看到，似然函数中含有的$\sum_^n(y_i - x_i\beta)^2$部分正是我们之前讨论的二次损失形式。那么我们便了解到，基于假设1时，确实是应该采用我们之前所使用的二次损失形式
  通常为了简便计算，我们都会将似然函数对数化

\begin
\begin
lnL(\beta, \sigma^{2, Y, X) & = -nln(\sqrt{2\pi}\sigma)- \frac{1}{2 \sigma}2} \sum_^n(y_i - x_i\beta)^2
\end
\end

  记$G(\beta, \sigma^{2) = nln(\sqrt{2\pi}\sigma) + \frac{1}{2 \sigma}2} \sum_^n(y_i - x_i\beta)^{2$，令似然函数最大化，即是求$min \hspace{1mm}G(\beta, \sigma}2)$

  对$G(\beta, \sigma^2)\(求关于\)\beta$的偏导有

\begin
\begin
\frac {\partial G(\beta, \sigma^{2)}{\partial \beta}
&= 0 + \frac{1}{2 \sigma}2}2 \displaystyle \sum_^{n (y_i - x_i \beta)x_i\\
& = \frac{1}{2 \sigma}2} \displaystyle \sum_^{n 2(x_i y_i - x_i}2 \beta) = 0
\end
\\
⇒ \displaystyle \sum_^{n (x_i y_i - x_i}2 \beta) = 0 ⇒ \displaystyle \sum_^{n x_iy_i = \displaystyle \sum_n x_i2 \beta\\
⇒ X}T Y = X^{T X \beta ⇒ \hat \beta = (X}T X)^{{-1} X}T Y
\end

  对$G(\beta, \sigma^2)\(求关于\)\sigma$的偏导有

\begin
\begin
\frac {\partial G(\beta, \sigma^{2)}{\partial \sigma}
&= n\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \sqrt{2\pi} - \frac{2}{2 \sigma}3} \sum_^n(y_i - x_i \beta)^{2 \\
& = \frac{\sigma} + \frac{1}{\sigma}3} \sum_^n(y_i - x_i \beta)^{2 = 0
\end
\\
⇒ \frac{1}{\sigma}3} \sum_^n(y_i - x_i \beta)^{2 = \frac{\sigma}
⇒ \hat \sigma}2 = \frac{\displaystyle \sum_^n(y_i - x_i\beta)^2}
\end

  从这里便可以看出，通过似然函数，一次就搞定了参数$\beta$和$\sigma$的估计，而基于损失函数的估计只是估计出了$\beta$，而$\sigma$是另外造一套理论估计的

• **tips：**但是基于似然函数的$\sigma$估计有一个小问题，它所得到的不是一个无偏估计（和$\hat \sigma^2 = \frac$略显不同）。因此，有的人也采用限制似然估计（REML）来进行代替。

3.2 基于假设2

  如果满足假设2，\(cov(\varepsilon) = cov(\varepsilon) = diag(\sigma_1^2, \sigma_2^2, \cdots, \sigma_n^2)\)， 并加上一个正态性的假设，即有$\varepsilon_i \sim N(0, \sigma^2_)$，那么，\(y_i = x_i\beta + \varepsilon_i \sim N(x_i\beta, \sigma^2_{ii})\)，那么有似然函数：

\begin
\begin
L(\beta, \sigma^2, Y, X) & = \prod_^n f(y_i)\\
& = \prod_^{n \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma_} e}{- \frac{(y_i - x_i \beta)^{2}{2 \sigma}2_}}\\
& = (\frac{1}{\sqrt{2\pi}})^n \prod_^{n(\frac{1}{\sigma_}) e}{- \frac{1}{2} \displaystyle \sum_^n(\frac {y_i - x_i \beta}{\sigma_})^2}
\end
\end

  我们可以发现基于假设2下，似然函数的核心部分发生了变化，不再是$\sum_^n(y_i - x_i\beta)^2$。因此，根据之前的经验，基于假设2，所采用的损失函数也应该发生变化。此时采用的损失函数应该是标准化的二次损失$\displaystyle \sum_^n(\frac {y_i - x_i\beta}{\sigma_})^{2$，我们也把这称为加权最小二乘估计。
  将似然函数对数化：
\begin
\begin
lnL(\beta, \sigma}2, Y, X) = -nln(\sqrt{2\pi})- \sum_^nln\sigma_ - \frac{1}{2} \displaystyle \sum_^n(\frac {y_i - x_i\beta}{\sigma_})^2
\end
\end

  记$G(\beta, \sigma_^2) = nln(\sqrt{2\pi}) + \sum_^nln\sigma_ + \frac{1}{2} \displaystyle \sum_^n(\frac {y_i - x_i\beta}{\sigma_})^2$，令似然函数最大化，即是求$min \hspace{1mm}G(\beta, \sigma_^2)$
  对$G(\beta, \sigma_^2)\(求关于\)\beta$的偏导有

\begin
\begin
\frac {\partial G(\beta, \sigma_^2)}{\partial \sigma_}
&= 0 + 0 - \frac{1}{2}2 \displaystyle \sum_^{n (\frac {y_i - x_i\beta}{\sigma_})\frac{\sigma_}\\
& = - \displaystyle \sum_n (\frac {x_iy_i - x_i2 \beta}{\sigma_2}) = 0
\end
\\
⇒ \displaystyle \sum_n (\frac {\sigma_2}) = \displaystyle \sum_n (\frac {x_i2 \beta}{\sigma_2}) \\
⇒ X_cT Y_c = X_cT X_c\beta ⇒ \hat \beta = (X_cT X_c){-1} X_c}T Y_c
\end

  记$X_c = (\frac{\sigma_{11}}, \frac{\sigma_{22}}, \cdots, \frac{\sigma_})^T, Y_c = (\frac{\sigma_{11}}, \frac{\sigma_{22}}, \cdots, \frac{\sigma_})^T$
  对$G(\beta, \sigma_^2)\(求关于\)\sigma_\(的偏导有，以\)\sigma_{11}$为例

\begin
\begin
\frac {\partial G(\beta, \sigma_^2)}{\partial \sigma_{11}}
&= 0 + \frac{1}{\sigma_{11}} - \frac{1}{2} 2 \frac{(y_1 - x_1 \beta)^2}{ \sigma_{11}^3} \\
& = \frac{1}{\sigma_{11}} - \frac{(y_1 - x_1 \beta)^2}{ \sigma_{11}^3} = 0
\end
\\
⇒ \frac{1}{\sigma_{11}} = \frac{(y_1 - x_1 \beta)^2}{ \sigma_{11}^3}
⇒ \hat \sigma_{11}^2 = (y_1 - x_1 \beta)^2
\end

  类似地，也就有$\hat \sigma_^2 = (y_i - x_i\beta)^2$

3.3. 基于假设3

  如果满足假设3，\(cov(\varepsilon) = \Sigma\)， 并加上一个正态性的假设，即有$\varepsilon$满足多维正态分布，\(\varepsilon \sim N_n(0, \sigma^2_{ii})\)，那么，\(Y = X\beta + \varepsilon \sim N_n(X\beta, \Sigma)\)，那么有似然函数

\begin
\begin
L(\beta, \Sigma Y, X) & =P(Y_1 = y_1, Y_2 = y_2, \cdots, Y_n = y_n) = P(Y=y)\\
& = \frac{1}{(\sqrt{2\pi})^{n |\Sigma|}{\frac{1}{2}}}e ^{- \frac{1}{2}(Y - X\beta)^{T \sum}{-1} (Y - X\beta)}
\end
\end

  其中，$|\Sigma|\(是\)\Sigma$的行列式
  我们可以发现基于假设3下，似然函数的核同样也发生了变化。那么，基于这种假设，此时采用的损失函数应该是$(y - x\beta)^{T \Sigma}{-1} (y - x\beta)$。将似然函数对数化：

\[ lnL(\beta, \Sigma, Y, X) = -nln(\sqrt{2\pi})- \frac{1}{2} ln|\Sigma| - \frac{1}{2} (Y - X\beta)^T (\Sigma)^{-1} (Y - X\beta) \]

  记$G(\beta, \Sigma) = nln(\sqrt{2\pi}) + \frac{1}{2}ln|\Sigma| + \frac{1}{2} (Y - X\beta)^{T \Sigma}{-1} (Y - X\beta)$，令似然函数最大化，即是求$min \hspace{1mm}G(\beta, \Sigma)$
  对$G(\beta, \Sigma)\(求关于\)\beta$的偏导有

\begin
\begin
\frac {\partial G(\beta, \Sigma)}{\partial \beta}
&= 0 + 0 - \frac{1}{2}2 X^{T \Sigma}{-1} (Y - X\beta)\\
& = X^{T \Sigma}{-1}(X\beta - Y) = 0
\end
\\
⇒ X^{T \Sigma}{-1}X\beta = X^{T \Sigma}{-1}Y \\
⇒ \hat \beta = (X^{T \Sigma}{-1} X)^{{-1} X}T \Sigma^{-1} Y
\end

  对$G(\beta, \Sigma)\(求关于\)\Sigma$的偏导有

\begin
\begin
\mathrmG & = \frac{1}{2} |\Sigma|^{{-1} d |\Sigma| - \frac{1}{2}(Y - X \beta)T \Sigma{-1}d \Sigma \Sigma}{-1}(Y-X \beta)\\
& = \frac{1}{2}tr(\Sigma^{-1} d \Sigma) - tr(\frac{1}{2}(Y - X \beta)^{T \Sigma}{-1} d \Sigma \Sigma^{-1}(Y-X \beta))\\
& = \frac{1}{2}tr(\Sigma^{-1} d \Sigma) - tr(\frac{1}{2}\Sigma^{-1}(Y-X \beta)(Y - X\beta)^{T \Sigma}{-1} d \Sigma)\\
& = tr(\frac{1}{2}((\Sigma^{-1} - \Sigma^{-1}(Y-X \beta)(Y - X \beta)^{T \Sigma}{-1}))d \Sigma)
\end
\\
⇒ \frac{\partial G}{\partial \Sigma} = \frac{1}{2}(\Sigma^{-1} - \Sigma^{-1} (Y-X \beta)(Y - X \beta)^{T \Sigma}{-1} )^{T = 0\\
⇒ \Sigma}{-1}(Y-X \beta)(Y - X \beta)^{T \Sigma}{-1} = \Sigma^{-1} \\
⇒ \hat \Sigma = (Y-X \beta)(Y - X \beta)^T
\end

4. 估计的优良性

  在基于损失函数的估计中，我们讨论了估计的优良性，那么当换了假设和损失函数后，我们的估计是否还是具有优良的性质呢
  对于假设3中，有
\begin
\begin
L_3(\beta) & = (Y - X\beta)^{T \Sigma}{-1} (Y - X\beta) \\
& = (Y - X\beta)^{T \Sigma}{- \frac{1}{2}} \Sigma^{-\frac{1}{2}} (Y - X\beta)\\
& = (\Sigma^{-\frac{1}{2}}Y - \Sigma^{-\frac{1}{2}}X \beta)^{T( \Sigma}{- \frac{1}{2}}Y - \Sigma^{-\frac{1}{2}}X \beta)\\
& = (Y^* - X^* \beta)^{T (Y}* - X^* \beta)
\end
\end

  其中，记$\Sigma^{-\frac{1}{2}}Y - \Sigma^{-\frac{1}{2}}X\beta$为$Y^* - X^* \beta$，由于$L_1(\beta) = (Y-X\beta)^{T(Y - X\beta)$具有优良的性质，那么$L_3(\beta) = (Y}* - X^* \beta)^T(Y* - X^* \beta)$的估计也应该具有优良的性质。

5. 假设的场景

  为什么总假设线性模型符合假设1呢？实际上当我们基于假设2时，要估计的参数有n+p个(n个不同的$\sigma_\(，和p个\)\beta_i$)，而我们只有n个样本，这样就出现自由度不足的情况；而当我们基于假设3时，要估计的参数就更多了（有$\frac{n^2 + n}{2}+p$个）。这样基本很难做估计，即使是做出出来了，估计也不一定唯一。

  面对这种情况，通常我们都要加大样本量，像可以一个个体测m次，得到mn个数据，当然这时模型也变成了混合模型。因此，对于假设2和假设3，更加适合一些纵向数据（经济上的面板数据、心理学上的重复测量数据、社会学上的多水平数据）