LaTeX常用篇(二)---上下标/分式/根式/求和/连乘/极限/积分/希腊字母
更新时间：2019.10.27
增加补充项中的内容
1. 序言
之前总结了一下latex的公式输入。但是俗话说得好，巧妇难为无米之炊
。如果想要输入复杂的数学公式，光知道公式输入的方式是远远不够的，我们还需要了解公式中常用的组成部分。
2. 上下标
数学公式中的字母经常是带上标（幂/转置/导数等）和下标（矩阵元素位置/参数个数等）的，而用latex解决这个问题十分简单。可以使用^表示上标，使用_表示下标。当然要值得注意的是，当上下标的有多个（2个及以上）字符时，要用{}括起来。
<!--来直接看几个例子-->
$$Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2^2$$
$$a_{11} + a_{12}^2 + a_{13}^3 = 0$$
显示效果：
- tip1：有时我们想使用的标记在字母的正上方，例如\(\bar X\)。这种无法直接用上下标来表示，需要使用其他的方法。
- tip2：在这里列举一些常用的用法：
- \(\bar X\)(X拔)的表示方法是：
$\bar X$，这个通常是用来表示变量的均值 - \(\hat Y\)(Y帽)的表示方法是：
$\hat Y$，这个通常是用来表示变量的预测值 - \(\underline X\)的表示方式是：
$\underline X$，可以用来表示下限 - 还有其他像\(\widetilde X\)的表示方式是：
$\widetilde X$
- \(\bar X\)(X拔)的表示方法是：
- tip3：例子中使用了一些希腊字母，可以直接跳转到下面进行查看常用的希腊字母
3. 分式
直接使用\frac{}{}来表示分式，其中第一个{}表示分子，第二个{}表示分母
$$f(x, y) = \frac{x + y}{x - y}$$
显示效果：
4. 根式
直接使用sqrt[]{}来表示分式，其中[]用来放开方的次数，{}用来放要被开方的公式
$$f(x, y) = \sqrt[n]{\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}}$$
显示效果：
5. 求和和连乘
对于连加的情况，我们通常使用\(\sum\)来表示。它的使用用法也很简单，但是通常都要添加上下标，像$\sum_{}^{}$形式。除了连加，我们有时也使用连乘，虽然没有连加使用得多（连乘都能通过对数写成连加），它只要以$\prod_{}^{}$的形式表示。
<!--连加-->
$$\sum_{i = 1}^{n}x_i$$
<!--连乘-->
$$\prod_{i = 1}^{n}x_i$$
显示效果：
- tip1：在latex中，默认情况下行内公式都是显示像\(\sum_{i=1}^na_{ij}\)的效果，如果想要这样的效果\(\displaystyle\sum_{i=1}^na_{ij}\)，就需要在前面加上
\displaystyle，来重新看一下下面的例子：
<!--连加-->
$\sum_{i = 1}^{n}x_i$
$\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}x_i$
<!--连乘-->
$\prod_{i = 1}^{n}x_i$
$\displaystyle\prod_{i = 1}^{n}x_i$
显示效果：
\(\sum_{i = 1}^{n}x_i\)
\(\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}x_i\)
\(\prod_{i = 1}^{n}x_i\)
\(\displaystyle\prod_{i = 1}^{n}x_i\)
6. 极限
还记得高数里极限的符号吗
。在latex中的极限表示，也直接使用\lim这个我们时常看到的符号。当然极限通常都是带下标的，所以更多的是使用lim_{}的形式。
<!--来看看两个重要极限-->
$$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$
$$\displaystyle\lim_{x \rightarrow + \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e$$
显示效果：
- tip1：右箭头\(\rightarrow\)的表示方式为
$\rightarrow$，左箭头\(\leftarrow\)的表示方式是$\leftarrow$ - tip2：正无穷\(+ \infty\)的表示方式为
$+ \infty$，负无穷\(- \infty\)的表示方式是$- \infty$
7. 积分
如果想要输入积分，则需要使用\int_{}^{}来表示
$$\int_0^1 x^2 dx$$
<!--来看一个更加复杂的例子-->
<!--正态分布的分布函数-->
$$F(x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(\frac{x-\mu}{\sigma})^2} dx$$
显示效果：
8. 常用的希腊字母
有时我们的公式里会包含一些希腊字母，而在latex中，其实只要会读希腊字母基本就会写出来。下面总结一些常用的希腊字母：
| 希腊字母 | 对应的代码 | 希腊字母 | 对应的代码 |
|---|---|---|---|
| \(\alpha\) | $\alpha$ |
\(\mu\) | $\mu$ |
| \(\beta\) | $\beta$ |
\(\sigma\) | $\sigma$ |
| \(\gamma\) | $\gamma$ |
\(\varepsilon\) | $\varepsilon$ |
| \(\theta\) | $theta$ |
\(\chi\) | $\chi$ |
| \(\zeta\) | $\zeta$ |
\(\tau\) | $\tau$ |
| \(\eta\) | $\eta$ |
\(\rho\) | $\rho$ |
| \(\xi\) | $\xi$ |
\(\psi\) | $\psi$ |
| \(\pi\) | $\pi$ |
\(\phi\) | $\phi$ |
9. 补充项
9.1 波浪线的表示
可以使用$\sim$来表示波浪线
$\varepsilon \sim N(0, \sigma^2I_n)$
显示效果：
\(\varepsilon \sim N(0, \sigma^2I_n)\)
9.2 求导
使用$\mathrm{d}$来表示求导符号，$\partial$来表示求偏导
$\frac {\mathrm{d}L(\beta)}{\beta}$
<!--直接用d来表示求导符的效果-->
$\frac {dL(\beta)}{\beta}$
<!--偏导-->
$\frac {\partial L(\beta_0, \beta_1)}{\partial \beta_0}$
显示效果：
\(\frac {\mathrm{d}L(\beta)}{\beta}\)
\(\frac {dL(\beta)}{\beta}\)
\(\frac {\partial L(\beta_0, \beta_1)}{\partial \beta_0}\)
9.3 垂直和平行符号
- 垂直：使用
\$perp$，效果为\(\perp\) - 平行：可以直接用
//或$//$，也可以使用$\parallel$，不过这个是显示竖直的形式||
$//$
$\parallel$
显示效果：
\(//\)
\(\parallel\)
9.4 把符号放在正下方
有时我们需要把文本放在正下方，这是我们就可以使用$\underset$，有时也可以使用$\limits$
$$\hat \beta = \underset{\beta}{\arg \min} L(\beta)$$
$$\hat \beta = \arg \min \limits_{\beta} L(\beta)$$
显示效果：
9.5 集合
<!--真包含-->
$$\subset$$
<!--包含-->
$$\subseteq$$
<!--属于和不属于-->
$$\in$$
$$\notin$$
<!--交集和并集-->
$$\cap$$
$$\cup$$
<!--其他-->
$$\mid$$
$$\supset$$
显示效果：
9.6 成正比
使用$\propto$来表示
$f(\beta|X) \propto f(\beta) f(X|\beta)$
显示效果：
\(f(\beta|X) \propto f(\beta) f(X|\beta)\)
9.7 梯度
使用$nabla$来表示
$\nabla f(x) = [\frac{\partial f(x)}{\partial x_1}, \frac{\partial f(x)}{\partial x_2}, ..., \frac{\partial f(x)}{\partial x_d}]^T$
显示效果：
\(\nabla f(x) = [\frac{\partial f(x)}{\partial x_1}, \frac{\partial f(x)}{\partial x_2}, ..., \frac{\partial f(x)}{\partial x_d}]^T\)
