编辑距离

转自：http://www.gdcp.cn/jpkc/sjjg/app/jm/edit_distance/problem.htm

问题描述

当一个智能终端将一行正文更新，并用新的目标串y[1..n]来替换现存的源串X [l..m]时，可有几种方式来做这种变换：源串中的单个字符可被删除(delete)；被替换 (replace)；或被复制到目标串中去(copy)；字符也可被插入(insert)；源串中的两个相邻字符可进行交换并复制到目标串中去(twiddle)；在完成其它所有操作之后，源串中余下的全部后缀就可用删至行末的操作删除(kill)。

例如，将源"algorithm"转换成目标串"altruistic"的一种方法是采取下面的操作序列:

操作	目标串	源串
copy a	a	lgorithm
copy l	al	gorithm
replace g by t	alt	orithm
delete o	alt	rithm
copy r	altr	ithm
insert u	altru	ithm
insert i	altrui	ithm
insert s	altruis	ithm
twiddle it into ti	altruiti	hm
insert c	altruitic	hm
kill hm	altruitic

要达到这个结果还可有其它一些操作序列。操作delete,replace，copy，insert，twiddle和kill中每一个都有一个相联系的代价cost。例如

cost(delete)=3;

cost(replace)=6;

cost(copy)=5;

cost(insert)=4;

cost(twiddle)=4;

cost(kill)=被删除的串长*cose(delete)-1;

一个给定的操作序列的代价为序列中各操作代价之和。例如上述操作序列的代价为

 3*cost(copy)+cost(replace)+cost(delete)+3*cost(insert)+cost(twiddle)+cost(kill)

=3*5+6+3+3*4+4+2*3-1

=45

给定两个序列x[1..m],y[1..n]和一些操作代价集合，X到Y的编辑距离为将X转化为Y的最"便宜"的转换序列的代价。请给出一个算法来找出x[1..m]至y[1..n]的编辑距离，并输出一个最优转换序列。

 

参考解答

我们按目标串长递增的顺序进行变换：先变换Y_n，再变换Y_n-1Y_n ，…直到变换至Y₁Y₂…Y_n为止。

设

C₁ —— delete操作的代价； C₂ —— replace操作的代价；

C₃ —— copy操作的代价；   C₄ —— insert操作的代价；

C₅ —— twiddle操作的代价；C₆ —— kill操作的代价，其值为当前源串长*C₁-1；

c[i,j] —— 将X_j…X_m变换至Y_i…Y_n的编辑距离。变换的可能方式有五种：

1. delete操作：删除源串中的X_j；
2. replace操作：源串中的X_j被替换到目标串的Y_i位置；
3. copy操作：源串中的X_j被拷贝到目标串的Y_i位置，使得Y_i=X_j；
4. insert操作：插入一个字符至目标串的Y_i位置；
5. twiddle操作：X_jX_j+1交换并复制到目标串的Y_iY_i+1位置，使得Y_i=X_j+1，Y_i+1=X_j；

要使c[i,j]最小，必须使得X_j…X_m与Y_i…Y_n中除参与变换的字符外的子串间的变换代价最小：即delete操作前X_j+1…X_m变换至Y_i…Y_n的代价和要最小；replace或copy操作前X_j+1…X_m变换至Y_i+1…Y_n的代价和最小；insert操作前X_j…X_m变换至Y_i+1…Y_n的代价和要最小；twiddle操作前X_j+2…X_m变换至Y_i+2…Y_n的代价和要最小。我们还不可能知道究竟使用哪一种操作可得出X_j…X_m至Y_i…Y_n的编辑距离，因此必须比较五种操用的代价和，从中找出代价和最小的一种。

由此得出c[i,j]的递归式：

c[i,j]=min{c[i,j+1]+C₁,c[i+1,j+1]+C₂,c[i+1,j+1]+C₃,c[i+1,j]+C₄,c[i+2,j+2]+C₅ |(i<n)∧(j<m)∧(y_i=x_j+1)∧(y_i+1=x_j)}

我们专门设置了一个记忆表k[i,j]，以记下c[i,j]最小时的操作序号C_i(1≤i ≤5)。

显然c[i,j]的递归边界有三个：

1. c[i,m+1]=(N-i+1)*C₄； k[i,M+l]=4   (1≤i ≤N) ，即源串空时，要变换目标串Y_i…Y_n必须进行N-i+1次insert操作。
2. c[n+1,i]=(M-i+1)*C₁-1；k[n+1,i]=6；即目标串空时，进行一次kill操作删除源串中余下的全部后缀。kill的代价为删除后缀X_i…X_m(M-i+1个字符)的delete代价减1。
3. 3.c[n+1,m+1]=0；即源串和目标串空时的编辑距离为0。

由c[i,j]的递归式可以看出，求c[i,j]最优解的子问题，包含了求c[i..n,j+1..M]的子子问题，要使c[i,j]的值最优，必须保证这些子子问题的值最优，因此具有“最优于结构”和“重叠子问题”两个要素，可用动态规划解决。我们从变换Y_n字符出发，按目标串长度递增的顺序自下而上地依次计算c[n,1..m]→c[n-1,1..m]→…→c[1,1..m]，充分利用了重叠子问题，使得算法效率显著提高。