P10398 题解

blog。博弈论。

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考虑使用 AGC002E 的方法分析：将 $a_i$ 升序排列，然后画成下图状物。

一次操作相当于消掉最下面的一行 / 最左边的一列，消完的人胜利。

将这个问题转换为：你在左下角，每次可以往上面（上面是空的就走到右上）/ 右边走一步，谁先走到最后一列就赢了。

于是可以写出 $O(\sum a_i)$ 的弱智 DP，答案即 $d{p}_{1,1}$。获得 $23$ 分的高分。

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下文令 $(a,b)$ 表示到达第 $a$ 堆石子第 $b$ 行的位置。

打表有一些观察：$(a,\text{\#})$ 处，除去最顶上的位置，其余位置胜负态交替。出现这个的原因是「上面是空的就走到右上」，所以可能需要特判边界。

正解就是模拟这个 DP。考虑 $(2,1)$，由于 $a_i$ 互不相同，故 $a_2\ge 2$，$(2,1)$ 不会受到边界情况牵制。于是 $(2,1)$ 为胜利当且仅当 $n=1$ 或 $a_{n-1}\equiv n(\mathrm{mod}2)$。

若 $(2,1)$ 输了，此时：

• 若 $a_1\ge 2$，此时考虑 $(1,2)$ 位。注意到此时 $a_2\ge 3$，结合 $(2,1)$ 输了，则 $(1,2)$ 必胜，进而 $(1,1)$ 位的两个决策都会使对手进入必胜态，于是此时直接输出 Bob。
• 否则 $a_1=1$，此时考虑 $(2,2)$ 位：也就是把下面一行删掉，进而成为了一个大小为 $(n-1)$ 的子问题，这个子问题的答案与原问题的答案相反。

想清楚后，这个「分治」的过程也可以用循环简单 $O(n)$ 实现。