8.19 lbw

傻逼题

给一张无向简单连通图，给每一条边定向，使得每一个点出度为偶数，输出任意一种方案或判无解。

$n,m\le {10}^5$。

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先随便定向然后调整。记 degree 偶数的点为 BananaNode，奇数的为 MonkeyNode，目标是使所有点都为 BananaNode。

对于两个 MonkeyNode，找到一条路径并翻转每条边，发现路径中的 Node 形态不变，但两个点都会变成 BananaNode。

于是找路径即可。实际上可以建生成树然后树上差分简单维护。MonkeyNode 为奇数时无解。复杂度 $O(m+n\log n)$。

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有趣一点的题

给定一棵 $n$ 个节点的树，要求构造出一个点权序列 $E$，满足以下三个条件：

1. $\mathrm{\forall }{E}_i\ge 1$。

2. $\mathrm{\forall }(i,j)(1\le i<j\le N)$，$|E_i-E_j|\ge \mathrm{dist}(i,j)$。

3. $E$ 中的最大值最小。

$n\le 2\times {10}^5$。

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看到 Condition3，可能会考虑二分答案，但是这没有逼用。需要考虑 Condition2。

按 $E_i$ 从小到大构造（拆绝对值）。记对应编号为 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$。那么有 $E_i-E_{i-1}\ge \mathrm{dis}(a_{i-1},a_i)$。

其他不相邻的点呢？

实际上并不需要管它们，例如 $i\ge j,E_i-E_j=\sum _{t=j+1}^i{E}_t-E_{t-1}=\sum _{t=j+1}^i\mathrm{dis}(a_{t-1},a_t)\ge \mathrm{dis}(a_i,a_j)$。

于是只用考虑相邻点的限制了。考虑取等：$\mathrm{\forall }1\le i<n,E_i-E_{i-1}=\mathrm{dis}(a_{i-1},a_i)$。

由 Condition1，令最小值 $E_1=1$，那么有 $E_x=1+\sum _{i=1}^{x-1}\mathrm{dis}(a_i,a_{i+1})$。

这个时候就能用上 Condition3 了：需要最小化 $E_n=1+\sum _{i=1}^{n-1}\mathrm{dis}(a_i,a_{i+1})$。

注意到 $\mathrm{dis}(a_1,a_2)+\mathrm{dis}(a_2,a_3)+\cdots +\mathrm{dis}(a_{n-1},a_n)+\mathrm{dis}(a_n,a_1)\ge 2(n-1)$，可以通过 $a_i$ 取 dfs 序达到下界。

即 $E_n=1+2(n-1)-\mathrm{dis}(a_1,a_n)$。

只需要最大化 $\mathrm{dis}(a_1,a_n)$。$a_1,a_n$ 取树的直径端点，剩下的取 dfs 序即可。

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暴力题

$n$ 结点的无向图，初始时没有边，接下来 $q$ 次操作：

• $\mathtt{1}uv$，加入一条连接 $u,v$ 的边。保证操作前 $u,v$ 不在同一个连通块内，换言之这张图总是森林。
• $\mathtt{2}uv$，询问是否存在和 $u,v$ 都相邻的点，若存在输出编号，若不存在输出 $0$。

$n,q\le {10}^5$。

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考虑怎样的点才能成为 $u,v$ 的共点：

• $f{a}_{f{a}_u}=v$，共点即 $f{a}_u$。
• $f{a}_{f{a}_v}=u$，共点即 $f{a}_v$。
• $f{a}_u=f{a}_v$，共点即 $f{a}_u$。

用启发式合并轻松做到 $O(q\log n)$。