曼哈顿距离&切比雪夫距离

好菜菜哦，lbw 这都不会吗？

定义

曼哈顿距离：${\mathrm{dis}}_{\alpha }((x_1,y_1),(x_2,y_2))=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$。等价描述：四个方向走。

切比雪夫距离：${\mathrm{dis}}_{\beta }((x_1,y_1),(x_2,y_2))=max(|x_1-x_2|,|y_1-y_2|)$。等价描述：八个方向走。

trick - 互相转化

• 钦定 $(x,y)\to (x+y,x-y)$ 即可曼哈顿距离转切比雪夫距离。
• 钦定 $(x,y)\to ({\displaystyle \frac{x+y}{2}},{\displaystyle \frac{x-y}{2}})$ 即可切比雪夫距离转曼哈顿距离。

其实也可以理解为图形旋转 ${45}^{\circ }$ 再放缩 $\sqrt{2}$ 倍之类的。

简单代数证明一下第一条。考虑经典 $|x|=max(x,-x)$，我们得到

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{dis}}_{\alpha }((x_1,y_1),(x_2,y_2))& =max(x_1-x_2,x_2-x_1)+max(y_1-y_2,y_2-y_1)\\ & =max(x_1-x_2+y_1-y_2,x_1-x_2+y_2-y_1,x_2-x_1+y_1-y_2,x_2-x_1+y_2-y_1)\end{array}$$

发现 $x+y,x-y$ 恰好能完美换元，再应用 $max(x,-x)=|x|$ 得证。$◻$

高维形式

上述过程也可以扩展到高维形式，具体地，对于 $k$ 维点 $(a_1,a_2,\cdots ,a_k)$ 映射到 $2^{k-1}$ 维点 $(a_1,\pm a_2,\pm a_3,\cdots ,\pm a_k)$ 完成曼哈顿距离转切比雪夫距离。证明和上面完全相同，类比一下就能理解了。

$$

P3964 [TJOI2013] 松鼠聚会

其实就是切比雪夫距离。转曼哈顿距离后二分+前缀和随便做。

几乎一样的题：P8075 [COCI 2009/2010 #7] KRALJEVI

$$

P4648 [IOI 2007] pairs 动物对数

$B=1$ 直接指针。$B=2$ 转切比雪夫后二维数点，排序+树状数组 解决。$B=3$ 转切比雪夫后四位数点，排序+三维树状数组解决。

$$

[ABC233Ex] Manhattan Christmas Tree

弱智题，转切比雪夫距离后二分答案转二维数点，瞎写点东西都能过的。

$$

[ABC221G] Jumping sequence

虽然说不是曼哈顿距离，但是挺像的哦哦。套用 $(x,y)\to (x+y,x-y)$ 的形式发现可以将两维分开讨论，分别做 01 背包即可，需要 bitset 优化。具体可以参照我的题解。