ABC221G/ABC240G 题解

blog。很典的 trick！记录一下。

关键技巧：走相邻点很难处理，通过改变坐标轴意义，将维度分开考虑。

ABC221G

两维混在一起，每一步决策需要考虑两维，非常麻烦。

考虑将 \((x,y)\) 转为 \((x+y,x-y)\)，那么每一步操作有如下变化。

• 上：\((x,y+d_i)\to(x+d_i,y-d_i)\)。
• 下：\((x,y-d_i)\to(x-d_i,y+d_i)\)。
• 右：\((x+d_i,y)\to(x+d_i,y+d_i)\)。
• 左：\((x-d_i,y)\to(x-d_i,y-d_i)\)。

发现两维被拆开了，等价于，解决两次下面的问题。

钦定 \(o_i\in{-1,1}\)，使得 \(\sum\limits_{i=1}^no_i\times d_i=T\)。

对等式左侧提出一倍的 \(\sum\limits_{i=1}^nd_i\) 并移项，等价于解决：

钦定 \(o_i\in{0,1}\)，使得 \(\sum\limits_{i=1}^no_i\times d_i=\dfrac{T-\sum d_i}2\)。

即 01 背包问题，直接做即可。时空都有点小爆，bitset 优化即可通过。

code，时间复杂度 \(O(\dfrac{n\times\sum |d_i|}\omega)\)。

ABC240G

也就是将上面那个转化思路，上升到三维去计数。

不会三维怎么办？枚举走 \(i\) 步到达 \(Z\) 点，贡献为 \(\Large\binom ni\) 乘以「\(i\) 步走到 \(Z\) 方案数」。

剩下就是用 \(N-i\) 步 \((0,0)\to(X,Y)\)。

与 ABC221G 一样，转成 \((0,0)\to(X+Y,X-Y)\)，两维分开考虑，贡献即「\(n-i\) 步走到 \(X+Y\) 方案数」乘以「\(n-i\) 步走到 \(X-Y\) 方案数」。

Little problem：如何计算「\(t\) 步走到 \(p\) 的方案数」？
必定是走 \(\dfrac{t+p}2\) 步正向的，\(\dfrac{t-p}2\) 步反向的，方案即 \(\large\binom{t}{\frac{t-p}2}\)。
\(\dfrac{t-p}2\notin\mathbb{N}\) 则方案数为 \(0\)。

于是枚举 \(i\) 即可。

code，时间复杂度 \(O(n)\)。