ARC174C 题解
blog。官解似乎很难想到，这里是容易想到的方法。
显然是 DP。介于轮数可能趋近于无穷，所以类似 P4550 做即可。
设 \(f_i,g_i\) 表示已经抽了 \(i\) 个数，当前是 Alice 或 Bob 抽的，期望罚款。
倒推处理，\(f_n=g_n=0\)。下文中 \(p=\dfrac in\) 表示抽到已经有的概率。
\[\large\begin{cases}f_i=(1-p)\cdot g_{i+1} + p\cdot g_i\\g_i=(1-p)\cdot f_{i+1} + p\cdot(f_i+1)\end{cases}
\]
含义：Alice 要么是 Bob 抽完后轮到他，直接抽中新的；要么是没抽中，轮给 Bob。
将 \(f_i\) 代入 \(g_i\)，得：
\[\large\begin{aligned}f_i & =(1-p)\cdot g_{i+1} + p\cdot\Big(f_{i+1} \cdot (1 - p) + (f_i + 1) \cdot p)\Big)\\& = (1-p)\cdot g_{i+1}+p(1-p)\cdot f_{i+1}+p^2+p^2\cdot f_i\end{aligned}
\]
移项即有：
\[\large f_i=\dfrac{(1-p)\cdot g_{i+1}+p(1-p)\cdot f_{i+1}+p^2}{1-p^2}
\]
\(g_i\) 代入即可，答案即 \(f_1\) 与 \(g_1\)。
code，除去快速幂即 \(O(n)\)。实现时小心爆 long long。
