ARC145C 题解

problem & blog。

小清新结论题。

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提供一个不需要脑子就可以 AC 的方法：看样例解释，猜到一定是 $(1,2)(3,4)$ 这样子，于是暴力，把前几项输进 OEIS 里，做完了。

显然取 $\mathrm{\forall }|A_i-B_i|=1$ 最优。

证明：对于 $x-3,x-2,x-1,x$，配对：
$(x-3,x-2)(x-1,x)$ 的贡献为 $(x-3)(x-2)+(x-1)x=2x^2-6x+6$。
$(x-3,x)(x-2,x-1)$ 的贡献为 $(x-3)x+(x-2)(x-1)=2x^2-6x+2$。
显然前者更优，同理容易归纳证明。

简单计数。

• 交换 $(A_i,B_i)$ 与 $(A_j,B_j)$ 仍然最优，方案数 $n!$。
• 交换 $A_i$ 与 $B_i$ 仍然最优，方案数 $2^n$。
• 去掉上述情况后考虑的是 $\mathrm{\forall }(A_i,B_i)=(2k-1,2k)$ 的问题。
• 不妨设同一对中，先出现的为 $\alpha$，后出现的为 $\beta$，则这个序列合法，当且仅当任意时刻，$\alpha$ 的数量 $\ge \beta$ 的数量。
• 此即卡特兰数 ${\displaystyle \frac{1}{n+1}}\cdot \left(\begin{array}{c}2n\\ n\end{array}\right)$。总答案即这些东西相乘。

code，时间复杂度 $O(n)$。