JSC 2019 Qual D 题解
是一道不难想，但是有趣的构造题阿！没有题解，我来一发。
转化：你要构造一个无向有权完全图 \(G=(V,E)\)，满足其中边权为 \(x\) 的边构成的 \(G^{'}=(V,E^{'})\) 均为二分图。
先给结论捏，最大边权最小值为 \(w=\left\lceil \log_2 n\right\rceil\)。数学归纳法很容易证明。
- 边界是 \(n=2\) 时 \(w=1\) 最优。
- 假设已证明 \(n=2^{\beta-1}\) 时 \(w=\beta-1\) 最优，要证明 \(n=2^{\beta}\) 时 \(w=\beta\) 最优。
- 形式化地，假设已证明 \(n=2^{\beta-1}\) 时 \(w=\beta-1\) 最优，且 \(n=2^{\beta-1}+1\) 时 \(w=\beta\) 无解。只需证 \(n=2^\beta\) 时 \(w=\beta\) 最优，且 \(n=2^\beta+1\) 时 \(w=\beta\) 无解即可。
- \(n=2^\beta\) 可以构造出 \(w=\beta\) 的解，构造见下文。
- \(n=2^\beta+1\) 时，根据抽屉原理，在任意一张边权为定值的子图中，二分图两部分的点数 必有一部分的点数 \(\ge 2^{\beta-1}+1\)。我们已经证明 \(\{n=\beta-1,w=2^{\beta-1}+1\}\) 无解，所以 \({n=\beta, w=2^\beta+1}\) 也无解。
构造的话，\((i,j)\) 连边「二进制下 / 两数最低位的 / 数码不同的 / 位置」，所有边权相同的边显然构成二分图。
代码，时间复杂度 \(O(n^2)\)。
