P5246 题解

前言

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耗时一个晚上，没看题解把消失的源代码切了，很高兴，来写篇题解！

点击 $\mathbf{\text{每个子任务的标题}}$ 可以查看代码。

如果不想看心路历程，请 $\mathbf{\text{划到最底下}}$ 看一行流题解。

Task 1

是一堆小写字母，往 exe 里挨个输入 $\mathtt{\text{a}}\sim \mathtt{\text{z}}$ 就能发现这是一个映射。直接做即可。

Task 2

input2.txt 看起来非常简单，但是输进去 $\text{exe}$ 我就破防了：这是啥啊？？？？？

输入 $0\sim 10$，答案 $a_i$ 为 $10,2030,8082,18166,32282,50430,72610,98822,129066,163342,201650$。

稍微思考一下就不难了。注意到 $8082\approx 2030\times 2^2$，$18166\approx 2030\times 3^2$。尝试变成整除，于是发现 $-10$ 就整除了。

$b_i={\displaystyle \frac{a_i-10}{i}}$，答案 $b_i$ 为 $0,2020,4036,6052,8068,10084,12100,14116,16132,18148,20164$。

不看前面几项。我草这是等差数列。差是 $2016$，很吉祥啊！

所以 $b_n=2020+2016(n-1)$，$a_n=n\cdot b_n+10=n(2020+2016(n-1))+10$，输出即可。

很快把公式抄进代码里，和 $1\sim 20$ 的正确答案比一下。？？？？？？？？为啥这正确答案还带突然变小的？？？？？？？

这并不困难。发现突然变小的那一项和我们的答案正好差 $233333$，很容易想到是 $mod233333$ 啦。

Task 3

https://oeis.org/A097430。

Task 4

input4.txt 显然是读入一张图。随便输入一点普通图，发现结果总是 $n^2$，直到你输入了一个不连通的图 $(V=\{1,2,3,4,5\},E=\{(1,2),(2,3),(4,5)\})$，发现答案是 $13=3^2+2^2$。这就很显然了，答案即 $\sum {\mathbf{\text{连通块的大小}}}^2$。

Task 5

input5.txt 经过观察，先读入 $n-1$ 条有权边（应该是构成一棵树），再读入 $m$ 组点对，计算答案。

先试试 $m=1$ 的情况。对于 $(u,v)$，容易发现就是 $\mathrm{dist}(u,v)$。

再试试 $m=2$，发现答案非常神秘，为啥那两个点对的距离是 $5$ 和 $20$，最后的答案还能是 $17$ 啊。于是试了一堆二元运算符后发现答案是所有距离的异或和，就离谱。

Task 6

input6.txt 长得和 input5.txt 一样捏。所以就很轻松了，发现不同点在于 $\mathrm{dist}(u,v)$ 变成了 $\underset{t\in (u\to v)}{min}{w}_t$。仍然是异或全部权值。

然后你发现你错了。实际上可以通过输入询问点对 $(u,u)$ 来获取 $\text{minn}$ 的初值应为 $1987654321$。

Task 7

（表格在洛谷可能会寄，请移步博客园）

输入规模又变小了。设每次读入的两数为 $(n,m)$，直接打表：

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$m=1$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$m=2$	$2$	$5$	$7$	$10$	$12$	$15$	$17$	$20$	$22$
$m=3$	$3$	$7$	$12$	$16$	$19$	$25$	$28$	$32$	$37$
$m=4$	$4$	$10$	$16$	$24$	$28$	$36$	$40$	$48$	$54$
$m=5$	$5$	$12$	$19$	$28$	$37$	$46$	$51$	$60$	$67$

观察 $(m=2)\Rightarrow (m=3)$，打表 $a_{n,m}-a_{n,m-1}$：

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$m=(1\Rightarrow 2)$	$1$	$3$	$4$	$6$	$7$	$9$	$10$	$12$	$13$
$m=(2\Rightarrow 3)$	$1$	$2$	$5$	$6$	$7$	$10$	$11$	$12$	$15$
$m=(3\Rightarrow 4)$	$1$	$3$	$4$	$8$	$9$	$11$	$12$	$16$	$17$
$m=(4\Rightarrow 5)$	$1$	$2$	$3$	$4$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$

再差分，打表 $b_{n,m}-b_{n-1,m}$：

$n$	$1\Rightarrow 2$	$2\Rightarrow 3$	$3\Rightarrow 4$	$4\Rightarrow 5$	$5\Rightarrow 6$	$6\Rightarrow 7$	$7\Rightarrow 8$	$8\Rightarrow 9$
$m=(1\Rightarrow 2)$	$2$	$1$	$2$	$1$	$2$	$1$	$2$	$1$
$m=(2\Rightarrow 3)$	$1$	$3$	$1$	$1$	$3$	$1$	$1$	$3$
$m=(3\Rightarrow 4)$	$2$	$1$	$4$	$2$	$1$	$4$	$2$	$1$
$m=(4\Rightarrow 5)$	$1$	$1$	$1$	$5$	$1$	$1$	$1$	$1$

整理一下。

$n$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$6$	$8$	$9$
$m=2$	$2$	$1$	$2$	$1$	$2$	$1$	$2$	$1$
$m=3$	$1$	$3$	$1$	$1$	$3$	$1$	$1$	$3$
$m=4$	$2$	$1$	$4$	$2$	$1$	$4$	$2$	$1$
$m=5$	$1$	$1$	$1$	$5$	$1$	$1$	$1$	$1$

显然即 $c_{n,m}=gcd(n,m)$。倒推一下就能得到 $a_{n,m}=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}gcd(i,j)$。

贺一下 P2398 的代码即可。$n\ne m$ 时是一个很小的点，所以直接暴力。

Task 8

很多人说这一问很难，但是我觉得还好捏。

随便输进去一个排列，发现答案是 ${\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$，很容易想到答案是这个数组的 $[l,r]$ 数量。

于是输入 $\{1,2,1,2\}$，发现答案是 $6$。枚举一下 $[l,r]$ 就能发现求的是本质不同的子串个数。

去 P2408 贺个题解改一改即可。

Task 9

input9.txt 显然让我们输入一些点对。瞎输了一下，为啥是小数啊。

于是输入 $(1,2),(3,4)$，发现答案是 $2.828\approx 2\sqrt{2}=\sqrt{8}$。很显然是 $(x_i,y_i)$ 在平面上两点的距离。

那么就很简单了，多输入几个数就能发现是平面最近点对。

去 P7883 贺个代码即可。

Task 10

这种题目总是有一些 Task 是不正经的 /hanx。

纯答案题解

• Task1：对于字母 $\mathtt{\text{a}}\sim \mathtt{\text{z}}$，映射 $\mathtt{\text{yfrbkgimujvphatdsnelozcxwq}}$。
• Task2：$a_n=(n(2020+2016(n-1))+10)mod233333$。
• Task3：$a_n=\lfloor \sqrt{{\displaystyle \frac{n}{\pi }}}\rfloor$。
• Task4：给定一张图，输出 $\sum {\mathbf{\text{连通块的大小}}}^2$。
• Task5：给定一棵有边权树，输出 $\oplus \mathrm{dist}(u,v)$。
• Task6：给定一棵有边权树，输出 $\oplus \mathrm{minw}(u,v)$。
• Task7：$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}gcd(i,j)$。$n\ne m$ 的情况允许暴力。
• Task8：本质不同的子串个数。
• Task9：平面最近点对。
• Task10：$10$ 个 invalid input!。