CF1451F 题解
这题原本的题解满是废话,让我写一篇(
这边直接给结论了。令 \(val_p = \oplus_{x+y=p}\ a_{x,y}\),设 \(S=\Big[\normalsize \forall val_i=0\Big]\),当 \(S=\text{true}\) 时,后手必胜;否则先手必胜。
证明也是典中典。证两个条件即可。
- 证明 \(\forall S \Rightarrow \neg S\):起点那里强制操作,并且你无法从 \((x,y)\to(s,t) (s<x \vee t<y)\),所以起点那一斜行的 \(\oplus a_{x,y}\) 是不可能维持 \(0\) 了。
- 证明 \(\exists \neg S \Rightarrow S\):找到最小的 \(i\) 满足 \(val_i\ne 0\),它对应的斜行是 \(i\)。取这一斜行二进制最高位所在的那个 \(a_{x,y}\) 作为起点,终点取右下角。
- 对于起点:\(a_{x,y}\gets(a_{x,y}\oplus val_i)\) 显然可以使 \(val_{i}'=0\)。由于 \(a_{x,y}\) 最高位在手,必定有 \(a_{x,y}\ge(a_{x,y}\oplus val_i)\)。
- 对于路径上的其他斜行:由于可以加,直接变成 \((a_{i,j}\oplus val_{i+j})\) 当然有正确性。
注意到先手必输态(全为 \(0\))对应 \(S=\text{true}\),也就有了一开始的结论。综上我们完成证明。
代码,时间复杂度 \(O(Tnm)\)。