CF1182E 题解

前言

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zlt 推荐矩阵加速题目。其实很不算难啊，不就是模拟吗。

思路

首先乘法是不能用矩阵加速直接维护的，考虑答案为 $f_n=c^{k_1}\times f_1^{k_2}\times f_2^{k_3}\times f_3^{k_4}$。

这些都是可以转移的。

对于 $c$ 的指数的转移：$\left(\begin{array}{c}{t}_{i-2},t_{i-1},t_i,2i-6,1\end{array}\right)$ 分别表示最近的三项（$f_{i-2},f_{i-1},f_i$）的 $c$ 的指数、以及一些常数。

$$f_{i+1}=c^{2i-6}\times f_i\times f_{i-1}\times f_{i-2}$$

$\therefore$ 对应的指数 $k_{i+1}=2\cdot (i+1)-6+k_i+k_{i-1}+k_{i-2}$。

矩阵转移：

$$\left(\begin{array}{ccccc}{t}_{i-2}& t_{i-1}& t_i& 2i-6& 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 2& 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}{t}_{i-1}& t_i& t_{i+1}& 2\cdot (i+1)-6& 1\end{array}\right)$$

---

对于 $f_1$ 的指数的转移：$\{t_{i-2},t_{i-1},t_i\}$ 分别表示最近的三项（$f_{i-2},f_{i-1},f_i$）的 $f_1$ 的指数。

$$f_{i+1}=c^{2i-6}\times f_i\times f_{i-1}\times f_{i-2}$$

$\therefore$ 对应的指数 $k_{i+1}=k_i+k_{i-1}+k_{i-2}$。

矩阵转移：

$$\left(\begin{array}{ccc}{t}_{i-2}& t_{i-1}& t_i\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}{t}_{i-1}& t_i& t_{i+1}\end{array}\right)$$

---

对于 $f_2$ 与 $f_3$ 的指数转移，矩阵转移是与 $f_1$ 的相同的。

仅仅是初始化不同。

---

三者对应的指数就是第 $3$ 项，这个自己对上即可。

最后再上快速幂即可求出。

代码

不喜欢用重载（次次考场都不会写重载格式），所以代码看起来会很长。

代码其实不用放的，抄一遍上面的矩阵即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int mod = 1e9 + 7;
typedef long long ll;

namespace martix_3 { //矩阵快速幂，懂的直接忽略即可
    void mul(int ANS[][3], int x[][3], int y[][3])
    {
        int ans[3][3] = {};
        for (int i = 0; i < 3; i++)
            for (int j = 0; j < 3; j++)
                for (int k = 0; k < 3; k++)
                    ans[i][j] = (ans[i][j] + 1ll * x[i][k] * y[k][j]) % (mod - 1);
        memcpy(ANS, ans, sizeof ans);
    }
    void ksm(int f[][3], int a[][3], ll y)
    {
        while (y)
        {
            if (y & 1) mul(f, f, a);
            mul(a, a, a);
            y >>= 1;
        }
    }
};
namespace martix_5 { //矩阵快速幂，懂的直接忽略即可
    void mul(int ANS[][5], int x[][5], int y[][5])
    {
        int ans[5][5] = {};
        for (int i = 0; i < 5; i++)
            for (int j = 0; j < 5; j++)
                for (int k = 0; k < 5; k++)
                    ans[i][j] = (ans[i][j] + 1ll * x[i][k] * y[k][j]) % (mod - 1);
        memcpy(ANS, ans, sizeof ans);
    }
    void ksm(int f[][5], int a[][5], ll y)
    {
        while (y)
        {
            if (y & 1) mul(f, f, a);
            mul(a, a, a);
            y >>= 1;
        }
    }
};
int qpow(int x, int y) //快速幂，懂的直接忽略即可
{
    int ans = 1;
    while (y)
    {
        if (y & 1) ans = (1ll * ans * x) % mod;
        x = (1ll * x * x) % mod;
        y >>= 1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    ll n; int f1, f2, f3, c;
    cin >> n >> f1 >> f2 >> f3 >> c;

    int getc_f[5][5] = {0, 0, 0, 0, 1}; //i=3，算c
    int getc_a[5][5] = {
        0, 0, 1, 0, 0,
        1, 0, 1, 0, 0, 
        0, 1, 1, 0, 0,
        0, 0, 1, 1, 0,
        0, 0, 2, 2, 1
    };
    martix_5::ksm(getc_f, getc_a, n - 3);
    int c_k = getc_f[0][2];

    int getf1_f[3][3] = {1, 0, 0}; //i=3，算f1
    int getf1_a[3][3] = {
        0, 0, 1, 
        1, 0, 1, 
        0, 1, 1
    };
    martix_3::ksm(getf1_f, getf1_a, n - 3);
    int f1_k = getf1_f[0][2];

    int getf2_f[3][3] = {0, 1, 0}; //i=3，算f2
    int getf2_a[3][3] = {
        0, 0, 1, 
        1, 0, 1, 
        0, 1, 1
    };
    martix_3::ksm(getf2_f, getf2_a, n - 3);
    int f2_k = getf2_f[0][2];

    int getf3_f[3][3] = {0, 0, 1}; //i=3，算f3
    int getf3_a[3][3] = {
        0, 0, 1, 
        1, 0, 1, 
        0, 1, 1
    };
    martix_3::ksm(getf3_f, getf3_a, n - 3);
    int f3_k = getf3_f[0][2];

    //printf("f_n = c^%d * f1^%d * f2^%d * f3^%d\n", c_k, f1_k, f2_k, f3_k);
    int ans = 1;
    ans = 1ll * ans * qpow(c, c_k) % mod;
    ans = 1ll * ans * qpow(f1, f1_k) % mod;
    ans = 1ll * ans * qpow(f2, f2_k) % mod;
    ans = 1ll * ans * qpow(f3, f3_k) % mod;
    cout << ans;
    return 0;
}

希望能帮助到大家！