CF1120D 题解
前言
这是一道巧妙的问题。前置芝士：dfs 序、最小生成树（kruskal）。
另外的题解讲得都很不详细，我就补篇题解。
思路
我们可以先找出这棵树的 dfs 序。dfs 序的特点是，相邻叶节点的 dfs 序总是连续的。
那对于每个点，我们就可以求出，它所能控制的叶节点对应的 dfn 序的一个区间。
这样就转化为一个区间问题了：
给定若干段区间 \([l, r]\)，每个区间有一个代价 \(a_i\)（对应原图的点权）。
还有一段 \([1, n]\) 的序列 \(a\)。
控制一个区间，表示可以对区间里的数任意加减。
求出最少代价以及方案，不管 \(a_i\) 是多少，总能将 \(a\) 的所有数变为 \(0\)。
区间多次修改，单次查询，很容易想到差分。
每次相当于在差分数组 \(c\) 上执行：\(c_l\) 加 \(x\)，\(c_{r + 1}\) 减 \(x\)。
并且显然有 \(1 \le l, r \le n\)，\(2 \le r + 1 \le n + 1\)（因为 \(l\) 和 \(r\) 是 dfs 序）。
换句话说，我们所能更改的数是 \(c_1\) 到 \(c_{n + 1}\)，要想让所有 \(c_i\)（\(1 \le i \le n\)）为 \(0\)，则所有数都要移到 \(c_{n + 1}\) 头上。
那么接下来就非常简单了：\([l, r]\) 对应着一条 \(l \to r + 1\) 的边，边权为 \(a_i\)。求出最少边权和及方案，使得选择了这些边后，\((n + 1)\) 号点能与所有点连通。
然后跑一遍 kruskal 即可。事实上转化为区间这一步只是推导过程，实际代码只需要在求出区间 \([l, r]\) 时，直接连边即可。
在输出方案的时候注意：这里的方案是并集！也就是全部可能存在于最优方案的点。
这一点具体看代码。很容易理解。
完整代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define space putchar(' ')
#define endl putchar('\n')
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef long double LD;
void fastio()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0), cout.tie(0);
}
int read()
{
char op = getchar(); int x = 0, f = 1;
while (op < 48 || op > 57) {if (op == '-') f = -1; op = getchar();}
while (48 <= op && op <= 57) x = (x << 1) + (x << 3) + (op ^ 48), op = getchar();
return x * f;
}
void write(LL x)
{
if (x < 0) putchar('-'), x = -x;
if (x > 9) write(x / 10);
putchar(x % 10 + 48);
}
const int N = 2e5 + 5;
int n, m, a[N];
struct zltAK
{
int u, v, w, pos; //a[pos] = w
}e[N];
void zltakioi(int u, int v, int pos)
{
e[++m].u = u, e[m].v = v;
e[m].w = a[pos], e[m].pos = pos;
}
bool cmp(zltAK IOI, zltAK CTSC) {return IOI.w < CTSC.w;} //膜拜 @zlttql
int fa[N]; //并查集
void init() {for (int i = 1; i <= n+1; i++) fa[i] = i;}
int get(int x)
{
if (fa[x] == x) return x;
return fa[x] = get(fa[x]);
}
struct Edge
{
int now, nxt, w;
}edge[N << 1];
int head[N], cur;
void add(int u, int v)
{
edge[++cur].now = v;
edge[cur].nxt = head[u];
head[u] = cur;
}
//dfnl[i] 和 dfnr[i] 表示叶节点 dfn 序，如果控制 i，可以更改 dfnl[i]~dfnr[i] 的全部对应叶节点。
int dfnl[N], dfnr[N];
void dfs(int u, int fa)
{
bool leaf = true;
dfnl[u] = 2147483647;
for (int i = head[u]; i; i = edge[i].nxt)
{
int v = edge[i].now;
if (v == fa) continue;
leaf = false, dfs(v, u);
dfnl[u] = min(dfnl[u], dfnl[v]), dfnr[u] = max(dfnr[u], dfnr[v]);
}
if (leaf) dfnl[u] = dfnr[u] = ++cur;
zltakioi(dfnl[u], dfnr[u] + 1, u); //建边，差分思想如上所述
}
int tot;
bool ans[N];
LL kruskal()
{
init(), sort(e+1, e+m+1, cmp);
LL sum = 0;
for (int l = 1; l <= n;)
{
int r;
for (r = l; r + 1 <= n && e[r].w == e[r+1].w; r++); //这样 [l,r] 的 w 都是一样的
for (int i = l; i <= r; i++) //记录答案并集，注意不能一边合并一边统计，显然会错误
if (get(e[i].u) != get(e[i].v))
ans[e[i].pos] = true, tot++;
for (int i = l; i <= r; i++) //真正的kruskal操作
{
int fu = get(e[i].u), fv = get(e[i].v);
if (fu == fv) continue;
fa[fu] = fv, sum += e[i].w;
}
l = r + 1;
}
return sum;
}
int main()
{
n = read();
for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = read();
for (int i = 1; i < n; i++)
{
int u = read(), v = read();
add(u, v), add(v, u);
}
cur = 0, dfs(1, 0);
write(kruskal()), space, write(tot), endl;
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (ans[i])
write(i), space;
return 0;
}
希望能帮助到大家！
