P8347 题解
前言
困难的博弈论题目。参考了巨佬 @Kaenbyou_Rin 的题解,并对他题解中错误的地方进行了更改。
警告:以下内容稍长,请认真阅读,有一定数学基础就很容易理解,因为实际证明难度不高。这个是感性证明。
思路
首先给出结论:只要有一个节点的度是偶数,先手必胜;否则后手必胜(也就是:后手必胜当且仅当全部节点的度都是奇数)。
证明如下。为了方便叙述,设状态 \(A\) 表示全部点度都是奇数。设每一步选择删除的点为 \(u\)。严谨说明,这里都是看 \(n > 1\) 的情况。
首先很显然,状态 \(A\) 的下一个状态一定不是 \(A\)。
因为 \(u\) 连接的点都是两两不同的,所以删掉对应的边后,\(u\) 所连接的点的度一定都会变成偶数。
这样不管选哪个连通块,必定有一个点度为偶数(也就是原本与 \(u\) 相连的点)。
接着证明:不是 \(A\) 的状态,必定可以转化为状态 \(A\)。
这个其实也不难,我们容易想到,必定有一个度为偶数的点,它有一棵子树,里面的所有点,度数都是奇数。
事实上,如果一个点不行,就换另一个点,依次枚举即可找到。
这一部分的具体证明:其实特别简单。
第一次指定根时我们有一棵树,然后如果没有满足要求的子树的话,我们直接从下往上找到深度最大的度为偶数的点。
这个点既然深度最深,那它下面必定都是度为奇数的点。这一部分就证掉了。
那我们知道这个有什么用呢?更简单了,直接通过删除其他点,保留下这个根以及全是奇点的子树。那么根的度就会变成 \(1\)。剩下的其他点又都是奇点,那不就变成状态 \(A\) 了吗?
其实认真阅读上述内容,并不是很困难。如果不仔细证明的话,实际上几分钟就能想出以上两个结论。
有了这两个结论,接下来就很容易了吧。说白了就是:\(A\) 必须变成非 \(A\),非 \(A\) 可以变成 \(A\)。
阅读题目,当对手将状态变为了 \(n = 1\),你就赢了。\(n = 1\) 代表着:非 \(A\) 的状态。
也就是说,如果初始状态为非 \(A\) 状态,先手将这个状态变为 \(A\) 状态即可。对手很生气,因为他必须把这个状态再次变为非 \(A\) 状态。
由于每次 \(n\) 都会减少,而且先手每次都会获得一个非 \(A\) 状态。所以迟早这个状态会是 \(n = 1\),于是先手获胜了。
反过来,先手获得了 \(A\) 状态,那么先手必须把这个状态变成非 \(A\) 状态。这下后手变成了先手,同上操作即可。后手获胜。
其实很简单,对吧?
完整代码
十分简单精简。
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int in[100005];
void solve()
{
int n;
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) in[i] = 0;
for (int i = 1; i < n; i++)
{
int u, v;
scanf("%d%d", &u, &v);
in[u]++, in[v]++;
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (in[i] % 2 == 0) //度为偶数,先手必胜
{
puts("Hifuu");
return;
}
puts("Luna");
}
int main()
{
int T;
scanf("%d", &T);
while (T--) solve();
return 0;
}
希望能帮助到大家!