CF1715C 题解
前言
简单的数学题。
思路
每次只变一个数，因此考虑在短时间内计算：每个位置的数产生的贡献。
容易发现以下的条件：
- 不管 \(a_i\) 是什么，当它作为一个子串的首项时，块数一定会加一。共有 \((n - i + 1)\) 个串的首项是 \(a_i\)。
- 如果 \(a_i \ne a_{i-1}\)，所有包含 \(a_i\) 与 \(a_{i+1}\) 的子串，块数都加一。乘法原理，头有 \((i - 1)\) 个位置可以选（\(0\) 到 \(i - 1\)），尾有 \((n - i + 1)\) 个位置可以选（\(i\) 到 \(n\)），共 \((i - 1) \times (n - i + 1)\)。
那么，我们就可以知道 \(a_{i - 1}\) 与 \(a_i\) 间产生的贡献是多少。
typedef long long LL;
LL calc(int i) //统计 a[i-1]与a[i]间产生的贡献
{
LL k = n - i + 1; //以 a[i] 为头的所有子串，不管a[i-1]与a[i]相不相同，都要计算贡献。
if (a[i-1] == a[i]) return k;
return 1ll * (i - 1) * (n - i + 1) + k; //不同才会产生贡献
}
然后，我们可以计算：原本的 \(a\) 数组有多少贡献。这非常简单。
LL sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = read();
for (int i = 1; i <= n; i++) sum += calc(i);
那么，怎样在短时间内计算 \(a_i\) 改变后的值呢？只需要：
- 减去 \(a_{i-1}\) 与 \(a_i\) 产生的贡献，减去 \(a_i\) 与 \(a_{i + 1}\) 产生的贡献。因为它们过一会会变。
- 更改 \(a_i\)。
- 重新加上 \(a_{i-1}\) 与 \(a_i\) 产生的贡献，以及加上 \(a_i\) 与 \(a_{i + 1}\) 产生的贡献。
然后再输出结果即可。
完整代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define space putchar(' ')
#define endl putchar('\n')
using namespace std;
typedef long long LL;
int read()
{
char op = getchar(); int x = 0, f = 1;
while (op < 48 || op > 57) {if (op == '-') f = -1; op = getchar();}
while (48 <= op && op <= 57) x = (x << 1) + (x << 3) + (op ^ 48), op = getchar();
return x * f;
}
void write(LL x)
{
if (x < 0) putchar('-'), x = -x;
if (x > 9) write(x / 10);
putchar(x % 10 + 48);
}
int n, m, a[100005];
LL calc(int i) //统计 a[i-1]与a[i]间产生的贡献
{
LL k = n - i + 1; //以 a[i] 为头的所有子串，不管a[i-1]与a[i]相不相同，都要计算贡献。
if (a[i-1] == a[i]) return k;
return 1ll * (i - 1) * (n - i + 1) + k; //不同才会产生贡献
}
int main()
{
n = read(), m = read();
LL sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = read();
for (int i = 1; i <= n; i++) sum += calc(i);
while (m--)
{
int i = read(), k = read(); //a[i] = k
sum -= calc(i), sum -= calc(i+1);
a[i] = k;
sum += calc(i), sum += calc(i+1);
write(sum), endl;
}
return 0;
}
希望能帮助到大家！
首发：2022-08-25 12:22:47
