CF1550C 题解

前言

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比赛时，这题写了一个 $O(n^3)$ 算法，然后就过了。

以为是数据水，实际上可以证明时间复杂度是 $O(n)$ 的。

思路

关键是一个结论：当 $i<j<k$ 时，若 $a_i,a_j,a_k$ 单调不降或单调不升，则三元组 $(a_i,i),(a_j,j),(a_k,k)$ 必定是坏的。

为什么呢？画个图就很容易理解了。

同理，单调不增也是这样的。

所以，我们利用这一点 $O(n^2)$ 实现 check 函数。

const int N = 2e5 + 5;
int a[N];
bool chk(int l, int r) // [l,r] 区间是否是坏的
{
	for (int i = l; i < r; i++)
		for (int j = l; j < i; j++) //j<i<r
		{
			if (a[j] <= a[i] && a[i] <= a[r]) return true;
			if (a[j] >= a[i] && a[i] >= a[r]) return true; //符号反过来 
		}
	return false;
}

接着打个尺取，即可在 $O(n\times n^2)$ 的时间内完成程序。

void solve()
{
	int n;
	long long cnt = 0;
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
	for (int l = 1, r = 1; r <= n; r++) //顺序枚举右端点，左端点尺取
	{
		for (; l <= r && chk(l, r); l++);
		cnt += (r - l + 1);
	}
	printf("%lld\n", cnt);
}

那为什么可以跑过去呢？原因在于，$\mathtt{\text{check()}}$ 函数不会执行这么多次，实际是趋于 $O(1)$ 的！

画一个图，可以发现，不会有长度大于等于 $5$ 的好子段。

所以这个方法去掉常数，就是 $O(n)$ 的。那么就可以欢快地打出代码了。

完整代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 5;
int a[N];
bool chk(int l, int r)
{
	for (int i = l; i < r; i++)
		for (int j = l; j < i; j++)
		{
			if (a[j] <= a[i] && a[i] <= a[r]) return true;
			if (a[j] >= a[i] && a[i] >= a[r]) return true; //符号反过来 
		}
	return false;
}
void solve()
{
	int n;
	long long cnt = 0;
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
	for (int l = 1, r = 1; r <= n; r++)
	{
		for (; l <= r && chk(l, r); l++);
		cnt += (r - l + 1);
	}
	printf("%lld\n", cnt);
}
int main()
{
	int T;
	scanf("%d", &T);
	while (T--) solve();
	return 0;
}

希望能帮助到大家！
首发：2022-08-09 07:39:00