拓扑排序学习笔记

前言

在学习这篇文章之前，你需要了解的算法有：

1. 基本图论知识
2. 链式前向星（图的一种存储方式）
3. 了解 队列、栈 等简单数据结构的实现，用 STL 也行。

什么是拓扑排序

AOV网的定义

在了解拓扑排序（topo sort）之前，我们还得了解一个东西：AOV 网。

AOV 网（Activity On Vertex） 主要用于表示活动间的优先关系。

看下面一个 非常不 生动的例子。

假设你在玩游戏，你想要解锁一个宝箱。

想要解锁这个宝箱，你需要先完成一堆任务，而每个任务又需要先完成子任务后才能解锁。

具体如下：

那么 AOV 网长啥样呢？

先观察这个 AOV 网，自己寻找规律。

现在，请思考一下 AOV 网是如何创建的。

（思考ing）

思考完了吧，其实规律是很好找的，就一句。

• 如果 $x\to y$，说明完成任务 $y$ 之前要先完成任务 $x$。

比如，想完成 $4$，必须先完成 $1$ 与 $6$。

看一下图，$6$ 与 $1$ 是不是的确有一条边连向 $4$ 呢？

进一步讲：

• 如果存在一条路径使得 $x$ 通向 $y$，则完成任务 $y$ 之前要先完成任务 $x$。

不过这一条件并没有太多作用。

以上就是 AOV 网大致的规律了，需要注意的是：

• 如果图上存在环，必定没有办法完成全部任务。
• 即，AOV 网必为一个 DAG（Directed Acycline Graph，有向无环图）。

---

拓扑排序的定义

说了这么一大坨，终于可以开始讲拓扑排序是神马东西了。

其实这东西特别简单，就是求一个序列，满足：

• 按照序列的顺序完成任务，可以将全部任务完成。

需要注意的是：

• 拓扑序列应该为 $1$ 到 $n$ 的其中一个全排列。
• 如果图上存在环，将没有拓扑序列（这一点前文提到过）。
• 拓扑序列一般有多个，但是程序通常只能求其中一个。

而拓扑排序，就是求出这个拓扑序列的。

下面，我们正式讲解拓扑排序的实现。

思路实现

1

用链式前向星存储这个图，并顺手计算每个点的入度。

不作解释，很简单。

int head[N], cur;
struct Node
{
	int now, nxt;
}e[M];
void add(int x, int y)
{
	e[++cur].now = y;
	e[cur].nxt = head[x];
	head[x] = cur;
}
int in[N]; //入度

scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
    int x, y;
    scanf("%d%d", &x, &y);
    add(x, y); //x->y
    in[y]++;
}

2

准备一个队列，并将所有入度为 $0$ 的点压入队列。

代码：

int cur = 0;
queue <int> Q;
for (int i = 1; i <= n; i++)
    if (in[i] == 0)
        Q.push(i);

3

每次都将队首计入 topo[] 数组中。

然后遍历所有队首点可以一次到达的点，如 $1$ 要遍历到 $2$、$3$、$4$。

（正是因为这一点，我们采用链式前向星）

然后将遍历到的点 in[x]--。

若当前点入度被减成 $0$ 了，说明这个任务可以执行了，即：将当前点压入队列。

一直执行，直到队列为空。

代码：

int topo[N];

while (!Q.empty())
{
    int x = Q.front(); //截取队首
    Q.pop(); //弹出
    topo[++cur] = x;  //扔进拓扑序列中
    for (int i = head[x]; i; i = e[i].nxt)
    {
        int t = e[i].now; //易错，是 e[i].now 而非 i
        in[t]--;
        if (in[t] == 0) Q.push(t);
    }
}

4

最后，我们要判断是否存在拓扑序列。

很简单，不存在拓扑序列，当且仅当 $\text{拓扑序列元素个数}<n$。

为什么呢？

看这张图，显然是一个普通的环。

所有点入度都不为 $0$，故不存在拓扑序列。

那如果外面还有一些点呢？

此处的点 $a$、$b$、$c$、$d$ 之外可能还有其他点。

假设 点 $a$、$b$、$c$、$d$ 已经入队了。

你会发现，点 $a$、$b$、$c$、$d$ 仅仅能处理当前的边，所以最后仍然会留下这个环。

综上所述，可以轻松判断拓扑序列是否符合要求。

代码：

if (cur < n) printf("This graph isn't a DAG."); //图存在环
else
{
    for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", topo[i]);
}

总代码

完整代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#define N 233
#define M 2005
using namespace std;
int head[N], cur;
struct Node
{
	int now, nxt;
}e[M];
void add(int x, int y)
{
	e[++cur].now = y;
	e[cur].nxt = head[x];
	head[x] = cur;
}
int n, m;
int in[N]; //入度
int topo[N];
bool topo_sort()
{
	cur = 0; //再次利用 
	queue <int> Q;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		if (in[i] == 0)
			Q.push(i);
	while (!Q.empty())
	{
		int x = Q.front();
		Q.pop();
		topo[++cur] = x;
		for (int i = head[x]; i; i = e[i].nxt)
		{
			int t = e[i].now;
			in[t]--;
			if (in[t] == 0) Q.push(t);
		}
	}
	return (cur == n);
}
int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		int x, y;
		scanf("%d%d", &x, &y);
		add(x, y); //x->y
		in[y]++;
	}
	bool chk = topo_sort();
	if (chk == false) printf("This graph isn't a DAG."); //图存在环
	else
	{
		for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", topo[i]);
	}
    return 0;
}

测试样例：

6 8
1 2
1 3
1 4
3 2
3 5
4 5
6 4
6 5

有关『队列』的思考

其实，此处必须用队列吗？

了解了拓扑排序的原理后，很容易发现，不一定用队列。

比如，可以使用栈。

观察一下两种数据结构的不同答案。

很明显，两种序列都是对的，因为前文提到过，拓扑序列并非唯一。

不过，两个序列并没有什么明显的规律呀！

有些题目会让你求：

一行，输出拓扑序列。

如果不存在拓扑序列，输出 $-1$。

如果有多个拓扑序列，输出字典序最小的那一个。

此时，你想到了什么？

没错！优先队列！

如果我们使用优先队列，就可以让拓扑序列相对有序了。

我们再列一个表格。

是不是稍微有一点规律了？！

此外，如果你给优先队列重载，就可以达到不同的需求了。

如果你重载成随机 true false，你就可以得到多个不同的拓扑序列了！

结语 & 参考文献

拓扑排序其实挺简单的，对吧！

参考了《算法训练营 海量题解+竞赛刷题：入门篇》一书，样例参照了此书。

本文的图均为作者所制，未经允许不可转载。图使用 https://csacademy.com/app/graph_editor/ 绘画。

前台所有表格都炸了，只好在后台截图。

今后会在本文加入例题的！

首发：2022-05-15 22:06:31