拓扑排序学习笔记
前言
在学习这篇文章之前，你需要了解的算法有：
- 基本图论知识
- 链式前向星（图的一种存储方式）
- 了解 队列、栈 等简单数据结构的实现，用
STL也行。
什么是拓扑排序
AOV网的定义
在了解拓扑排序（topo sort）之前，我们还得了解一个东西：AOV 网。
AOV 网（Activity On Vertex） 主要用于表示活动间的优先关系。
看下面一个 非常不 生动的例子。
假设你在玩游戏，你想要解锁一个宝箱。
想要解锁这个宝箱，你需要先完成一堆任务，而每个任务又需要先完成子任务后才能解锁。
具体如下：
那么 AOV 网长啥样呢？
先观察这个 AOV 网，自己寻找规律。
现在，请思考一下 AOV 网是如何创建的。
（思考ing）
思考完了吧，其实规律是很好找的，就一句。
- 如果 \(x \to y\)，说明完成任务 \(y\) 之前要先完成任务 \(x\)。
比如，想完成 \(4\)，必须先完成 \(1\) 与 \(6\)。
看一下图，\(6\) 与 \(1\) 是不是的确有一条边连向 \(4\) 呢？
进一步讲：
- 如果存在一条路径使得 \(x\) 通向 \(y\)，则完成任务 \(y\) 之前要先完成任务 \(x\)。
不过这一条件并没有太多作用。
以上就是 AOV 网大致的规律了，需要注意的是：
- 如果图上存在环，必定没有办法完成全部任务。
- 即，AOV 网必为一个 DAG（Directed Acycline Graph，有向无环图）。
拓扑排序的定义
说了这么一大坨，终于可以开始讲拓扑排序是神马东西了。
其实这东西特别简单，就是求一个序列，满足：
- 按照序列的顺序完成任务，可以将全部任务完成。
需要注意的是：
- 拓扑序列应该为 \(1\) 到 \(n\) 的其中一个全排列。
- 如果图上存在环，将没有拓扑序列（这一点前文提到过）。
- 拓扑序列一般有多个，但是程序通常只能求其中一个。
而拓扑排序，就是求出这个拓扑序列的。
下面，我们正式讲解拓扑排序的实现。
思路实现
1
用链式前向星存储这个图，并顺手计算每个点的入度。
不作解释，很简单。
int head[N], cur;
struct Node
{
int now, nxt;
}e[M];
void add(int x, int y)
{
e[++cur].now = y;
e[cur].nxt = head[x];
head[x] = cur;
}
int in[N]; //入度
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
int x, y;
scanf("%d%d", &x, &y);
add(x, y); //x->y
in[y]++;
}
2
准备一个队列，并将所有入度为 \(0\) 的点压入队列。
代码：
int cur = 0;
queue <int> Q;
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (in[i] == 0)
Q.push(i);
3
每次都将队首计入 topo[] 数组中。
然后遍历所有队首点可以一次到达的点，如 \(1\) 要遍历到 \(2\)、\(3\)、\(4\)。
（正是因为这一点，我们采用链式前向星）
然后将遍历到的点 in[x]--。
若当前点入度被减成 \(0\) 了，说明这个任务可以执行了，即：将当前点压入队列。
一直执行，直到队列为空。
代码：
int topo[N];
while (!Q.empty())
{
int x = Q.front(); //截取队首
Q.pop(); //弹出
topo[++cur] = x; //扔进拓扑序列中
for (int i = head[x]; i; i = e[i].nxt)
{
int t = e[i].now; //易错，是 e[i].now 而非 i
in[t]--;
if (in[t] == 0) Q.push(t);
}
}
4
最后，我们要判断是否存在拓扑序列。
很简单，不存在拓扑序列，当且仅当 \(\text{拓扑序列元素个数} < n\)。
为什么呢？
看这张图，显然是一个普通的环。
所有点入度都不为 \(0\)，故不存在拓扑序列。
那如果外面还有一些点呢？
此处的点 \(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\) 之外可能还有其他点。
假设 点 \(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\) 已经入队了。
你会发现，点 \(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\) 仅仅能处理当前的边，所以最后仍然会留下这个环。
综上所述，可以轻松判断拓扑序列是否符合要求。
代码：
if (cur < n) printf("This graph isn't a DAG."); //图存在环
else
{
for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", topo[i]);
}
总代码
完整代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#define N 233
#define M 2005
using namespace std;
int head[N], cur;
struct Node
{
int now, nxt;
}e[M];
void add(int x, int y)
{
e[++cur].now = y;
e[cur].nxt = head[x];
head[x] = cur;
}
int n, m;
int in[N]; //入度
int topo[N];
bool topo_sort()
{
cur = 0; //再次利用
queue <int> Q;
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (in[i] == 0)
Q.push(i);
while (!Q.empty())
{
int x = Q.front();
Q.pop();
topo[++cur] = x;
for (int i = head[x]; i; i = e[i].nxt)
{
int t = e[i].now;
in[t]--;
if (in[t] == 0) Q.push(t);
}
}
return (cur == n);
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
int x, y;
scanf("%d%d", &x, &y);
add(x, y); //x->y
in[y]++;
}
bool chk = topo_sort();
if (chk == false) printf("This graph isn't a DAG."); //图存在环
else
{
for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", topo[i]);
}
return 0;
}
测试样例：
6 8
1 2
1 3
1 4
3 2
3 5
4 5
6 4
6 5
有关『队列』的思考
其实，此处必须用队列吗？
了解了拓扑排序的原理后，很容易发现，不一定用队列。
比如，可以使用栈。
观察一下两种数据结构的不同答案。
很明显，两种序列都是对的，因为前文提到过，拓扑序列并非唯一。
不过，两个序列并没有什么明显的规律呀！
有些题目会让你求：
一行，输出拓扑序列。
如果不存在拓扑序列，输出 \(-1\)。
如果有多个拓扑序列，输出字典序最小的那一个。
此时，你想到了什么？
没错！优先队列！
如果我们使用优先队列，就可以让拓扑序列相对有序了。
我们再列一个表格。
是不是稍微有一点规律了？！
此外，如果你给优先队列重载，就可以达到不同的需求了。
如果你重载成随机 true false，你就可以得到多个不同的拓扑序列了！
结语 & 参考文献
拓扑排序其实挺简单的，对吧！
参考了《算法训练营 海量题解+竞赛刷题：入门篇》一书，样例参照了此书。
本文的图均为作者所制，未经允许不可转载。图使用 https://csacademy.com/app/graph_editor/ 绘画。
前台所有表格都炸了，只好在后台截图。
今后会在本文加入例题的！
首发：2022-05-15 22:06:31
