ST 表学习笔记
目录
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什么是 ST 表
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建造 ST 表
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ST 表查询操作
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ST 表的适用范围与数据结构的对比
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模板题
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结语&参考文献
什么是 ST 表
ST 表，即 Sprase Table，也叫稀疏表。
它主要用于解决 RMQ（Range Minimum/Maximum Query，区间最值查询）问题。
更生动地讲，ST 表就是在 \(O(n \log n)\) 的时间里预处理个表，然后可以在 \(O(1)\) 的时间内查询一个区间的最大值或最小值。
ST 表本质上是动态规划。
建造 ST 表
与线段树、树状数组一样，ST 表要先建造。
假设我们需要求区间最小值。
设 \(dp_{i, j}\) 表示以 \(i\) 为头，长度为 \(2^j\) 的区间的最小值。
例如，\(dp_{5, 2}\) 表示 \([5, 8]\) 的元素的最小值。
int dp[数组大小 N][log(N)+5];
如 \(N = 10^5\)，就可以定义成： int minn[100005][20]。
首先初始化，令 \(dp_{i, 0} = a_i\) 即可。
for (int i = 1; i <= n; i++) minn[i][0] = read();
* 程序中为了区分是求最大值还是最小值，将 dp 改成了 minn。不过终究是个名字罢了，不用在意。
状态转移方程很简单：\(dp_{i, j} = \min(dp[i][j-1], dp[i+2^{j-1}][j-1])\)。
原因更简单，长度为 \(2^j\) 的最值就是两段长度为 \(2^{j-1}\) 合起来的最值。
外层 for 循环：先枚举长度 \(len\)，即 \(2^1\) 到 \(2^{\left\lfloor\log n\right\rfloor}\)。
内层 for 循环：枚举起点，即 \(1\) 到 \((n - 2^{len} + 1)\)。
代码：
void build()
{
for (int i = 1; i <= n; i++) minn[i][0] = read();
int k = log2(n);
for (int j = 1; j <= k; j++)
{
int R = n - (1 << j) + 1;
for (int i = 1; i <= R; i++) minn[i][j] = min(minn[i][j-1], minn[i + (1 << (j-1))][j-1]);
}
}
* 代码中的 log2() 是 cmath 库中的函数。
ST 表查询操作
前面已经提到，给定 \(L\) 与 \(R\)，求 \(\min\limits_{R}^{i=L} a_i\) 的值。
设 \(k = \left\lfloor\log(R-L+1)\right\rfloor\)，其中 \((R-L+1)\) 为区间长度。
这张图很清晰地讲解了 ST 表的查询操作。
那么代码实现就非常容易了。
int query(int L, int R)
{
int k = log2(R-L+1);
return min(minn[L][k], minn[R - (1<<k) + 1][k]);
}
ST 表的适用范围与数据结构的对比
在这章开始之前，先扔个完整 ST 表代码：
//结构体外的定义
#define N 100005
int n;
//结构体
struct ST
{
int minn[N][20];
void build()
{
for (int i = 1; i <= n; i++) minn[i][0] = read();
int k = log2(n);
for (int j = 1; j <= k; j++)
{
int R = n - (1 << j) + 1;
for (int i = 1; i <= R; i++) minn[i][j] = min(minn[i][j-1], minn[i + (1 << (j-1))][j-1]);
}
}
int query(int L, int R)
{
int k = log2(R-L+1);
return min(minn[L][k], minn[R - (1<<k) + 1][k]);
}
};
ST a;
用结构体封装了，代码很清新吧！
大家观察一下代码，不难发现：
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build()的时间复杂度是 \(O(n \log n)\)。 -
query()的时间复杂度是 \(O(1)\)。
我们发现，线段树同样可以解决这类问题。
将线段树拉过来对比一下：
* 前台图炸了，只能在后台截图QwQ
通过表格可以看到，两者各有利弊。
模板题
T1：P1816
求最小。
直接用上文的代码即可。
T2：P3865
求最大。
代码稍微更改一下就好。
T3：P2880
同时维护最大与最小的 ST 表。
查询时作差即可，非常简单。
代码略。
* 如果你真的想学习 ST 表，以上模板题建议从零开始盲打一遍。
结语 & 参考文献
感谢大家看完整篇文章。
大部分内容参考了书籍《算法训练营：进阶篇》。
图片均为自己手绘，图片与文章未经允许不得转载。
首发：2022-05-07 16:35:56
